El plano complejo

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.title[
# El plano complejo
]
.subtitle[
## Sesión 08
]
.author[
### Alejandro Ucan
]
.date[
### 2022-10-15
]

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# Objetivos:

* Conocer la aritmética, geometría y álgebra de los números complejos y el plano complejo. 
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# Números complejos.

> __Definición:__ un número complejo es un par ordenado `$(x,y)$` compuesto de dos números reales con las siguientes operaciones:
 * _Suma de complejos:_ `$$(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2).$$`
 
 * _Producto de complejos:_ `$$(x_1,y_1)(x_2,y_2)=(x_1 x_2-y_1y_2,y_1 x_2+x_1 y_2).$$`
 
Al par ordenado `$(0,1)$` se le conoce como la _unidad imaginaria_. A los pares de la forma `$(x,0)$` se conoce como _reales_ y a los de la forma `$(0,y)$` _imaginarios puros_.

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# Números complejos.

Notemos que si multiplicamos dos reales `$$(x_1,0)(x_2,0)=(x_1 x_2,0)$$` y su multiplicamos un real con la unidad imaginaria `$$(0,1)(y_2,0)=(0,y_2).$$`

> Notacion: Denotando por `$x=(x,0)$` a los reales y por `$i=(0,1)$` a la unidad imaginaria. Obtenemos que un número complejo se puede escribir como `$$z=a+bi.$$`

> ¿Cuál es el resultado de `$i^2$`? ¿Cómo se traduce las operaciones complejas con esta notación?

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# Propiedades Algebraicas

> `$\mathbb{R}^2$` con las operaciones complejas forman un __campo__. 
* Las operaciones son conmutativas: `$z_1+z_2=z_2+z_1$` y `$z_1 z_2=z_2 z_1.$`
 
* Las operaciones son asociativas: `$z_1+(z_2+z_3)=(z_1+z_2)+z_3$` y `$z_1(z_2z_3)=(z_1z_2)z_3.$`
 
* Es valida la distributiva: `$z_1(z_2+z_3)=z_1 z_2 + z_1 z_3.$`
 
* Si `$z\neq 0$` con `$z=a+ib,$` entonces el complejo `$$1/z=\frac{a}{a^2+b^2}+i\frac{-b}{a^2+b^2}$$` satisface `$z\left(\frac{1}{z}\right)=1.$`

__Reto:__ Investiga las propiedades de campo y prueba que los complejos son uno.
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# Ejemplo:

> Realice las siguientes operaciones con complejos:
* `$(\sqrt{2}-i)-i(1-i\sqrt{2})$`
* `$\displaystyle{\frac{5}{(1-i)(2-i)(3-i)}}$`
* `$(1-i)^4$`

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# El plano complejo

> El plano `$\mathbb{R}^2$` con las operaciones anteriores se conoce como el espacio de los números complejos y lo vamos a denotar por `$\mathbb{C},$` y podemos servirnos de su representación gráfica para representar a los números complejos. 
 
En este caso, los ejes coordenados se conocen como el eje real y el eje imaginario. 
 
De igual manera con la descripción vectorial de los números complejos obtenemos una representación visual de la suma y resta de complejos.

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# El modulo y el conjugado.

> __Definición:__ Dado un número complejo `$z=a+ib,$` se define el modulo de `$z,$` denotado por `$|z|,$` al número real `$$\sqrt{a^2+b^2}.$$`
 
__Definición:__ Dado un número complejo `$z=a+ib,$` se define al conjugado de `$z,$` denotado por `$\overline{z},$` al complejo `$$\overline{z}=a-ib.$$`

__Ejemplo:__

* `$|4+3i|=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.$`
  * `$|i|=\sqrt{0+1}=\sqrt{1}=1.$`
  * `$\overline{3i}=-3i.$`
  * `$\overline{4-3i}=4+3i$`

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## Propiedades del Modulo y el conjugado

El conjugado satisface: 
  * `$\overline{z_1+z_2}=\overline{z}_1+\overline{z}_2.$`
  * `$\overline{z_1 z_2}=\overline{z}_1 \overline{z}_2.$`
  * `$|z|^2=z\overline{z}.$`
  * `$\mbox{Re}(z)=\frac{z+\overline{z}}{2}.$`
  * `$\mbox{Im}(z)=\frac{z-\overline{z}}{2}.$`
  
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# Coordenadas Polares

> __Definición:__ Las coordenadas polares de un número complejo están dadas por `$$z=r\cos(\theta)+ir\sin(\theta),$$` donde `$r=|z|$` y `$\theta$` se le conoce como _argumento_ de `$z,$` y se calcula como `$\displaystyle{\tan(\theta)=\frac{\mbox{Im}(z)}{\mbox{Re}(z)}}.$`

¿Cómo se ve el producto en coordenadas polares?

`$$z_1 z_2 =(r_1\cos(\theta_1)+ir_1\cos(\theta_1))(r_2\cos(\theta_2)+ir_2\cos(\theta_2))=r_1 r_2 (\cos(\theta_1+\theta_2)+ i\sin(\theta_1+\theta_2)).$$`

¿Cómo se ve el inverso multiplicativo? ¿y la división?

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# Fórmula de Euler

> Usualmente denotamos la expresión polar de un complejo con `$e^{i\theta}$` y se conoce como _fórmula de Euler_ (más adelante veremos el por qué de esta notación), es decir, `$$e^{i\theta}=cos(\theta)+i\sin(\theta).$$`

Lo anterior implica:

* Un complejo `$z$` se puede escribir como `$re^{i\theta}.$` 
 
 * El inverso multiplicativo: `$\frac{1}{r}e^{-i\theta}.$` 
 
 * El producto: `$z_1 z_2 =r_1 r_2 e^{i(\theta_1+\theta_2)}.$` 
 
 * El conjugado: `$\overline{z}=r_1e^{-i\theta}.$` 
 
 * `$|e^{i\theta}|=\sqrt{\cos^2(\theta)+\sin^2(\theta)}=1.$`

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# Potencias y Raíces de números complejos

## Potencias
> La fórmula de Euler nos permite calcular potencias (enteras y racionales) de manera rápida. 
 * Si `$n$` es entero, entonces `$$z^n=r^ne^{in\theta}=r^n\left(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\right).$$`

__Ejemplo:__ 
 * `$(1+i)^2=\left(\sqrt{2}(\cos(\pi/4)+i\sin(\pi/4))\right)^2=2(\cos(\pi/2)+i\sin(\pi/2))=2(0+i))=2i$` 
 * `$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\right)^6=\left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)^6=\cos(\pi)+i\sin(\pi)=1.$`
 
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## Raíces
> * Para `$1/k$` con `$k$` natural, entonces `$$z^{1/k}=\sqrt[k]{r}e^{\frac{\theta+2m\pi}{k}}\quad m=0,1,2,\cdots,k-1.$$` 
Notemos que para una raíz `$k-$`ésima tenemos `$k$` complejos que cumplen la ecuación de raíz.

__Ejemplo:__
  * `$\sqrt{i}=\sqrt{\cos(\pi/2)+i\sin(\pi/2)}=\cos\left(\frac{\pi+4m\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\pi+4m\pi}{4}\right),$` los complejos: `$$z_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)\quad \mbox{y}\quad \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i).$$`

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# Actividad:

1. Compruebe que para todo complejo `$z,$` se cumple: `$\overline{\overline{z}+3i}=z-3i$` y `$\overline{iz}=-i\overline{z}.$`

2. Compruebe que se cumple `$\sqrt{2}|z|\geq |\mbox{Re} z|+|\mbox{Im}z|.$`

3. Para un `$R$` positivo (es real) y un número complejo `$z_0.$` Compruebe que el conjunto de puntos que satisface la ecuación `$$|z|^2+2\mbox{Re}(\overline{z_0}z)+|z_0|^2=R^2$$` es un círculo de radio `$R$` y centro `$z_0.$`

4. Encuentre el argumento de `$\frac{i}{-2-2i}$` y `$\left(\sqrt{3}-i\right)^6.$`

5. Use la forma polar para comprobar que `$(-1+i)^7=-8(1+i).$`

6. Calcule las raíces `$(-i)^{1/3}$` y `$(-1)^{1/3}.$`

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# Reto del día (+1 pt sobre su examen parcial)

> Supongamos que se cumple la siguiente identidad: `$$1+z+z^2+\cdots+z^n=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}\quad \mbox{ con }z\neq 1,$$` derive la _identidad trigonométrica de Lagrange_ `$$1+\cos\theta +\cos 2\theta +\cdots+ \cos n\theta =\frac{1}{2}+\frac{\sin\left[\left(n+\frac{1}{2}\right)\theta\right]}{2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}.$$`