Funciones de Varias Variables

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# Funciones de Varias Variables
]
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## Sesión 01
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.author[
### Alejandro Ucan
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.date[
### 2023-02-07
]

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# Objetivos:

* Introducir el concepto de función de `$\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$` y `$\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$`. <br/><br/>
  * Estudiaremos la gráfica de estas funciones y sus curvas de nivel. <br/><br/>
  * Presentaremos las cónicas y sus particularidades. <br/><br/>

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# Motivación:

> Queremos conocer el movimiento (a través del tiempo) que describe una cuerda (cuyos extremos están fijos) cuando se estira y se suelta. Suponiendo que cada punto de la cuerda en movimiento dependerá no solo de su posición en el plano sino también del tiempo, tenemos que esto será una _función_ de `$x$` y `$t.$` Es decir, una función `$u(x,t)$` que toma valores en `$\mathbb{R}^2$` y regresa un valor de `$\mathbb{R}.$`

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## ¿Cómo es la función que modela este problema?

> La función que describe mejor este problema es la función `$$u(x,t)=\cos(t)\sin(x).$$`

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# Funciones de Varias Variables:

> Una función `$f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$` (con `$n=2,3$`) es una relación que asigna a cada punto `$x\in\mathbb{R}^n$` un número real `$y\in\mathbb{R}.$` `$$f(x)=y.$$`
#### Ejemplo:
  * `$f(x_1,x_2)=3x_1 x_2.$` <br/>
  * `$f(x_1,x_2)=x_1^2+x_2^2$` <br/>
  * `$f(x_1,x_2)=e^{x_1}\cos(x_2)$` <br/>
  * `$f(x_1,x_2,x_3)=x_3\sqrt{e^{x_1+x_2}}$` <br/>
  * `$f(x_1,x_2,x_3)=3x_1-4x_2-3x_3^2+x_1x_2.$`

De igual manera que las funciones de 1 variable, las funciones de varias variables tienen un _dominio_ de definición (subconjunto de `$\mathbb{R}^n$` donde la función está bien definida) y una _imágen_ (subconjunto de `$\mathbb{R}$` dónde se encuentran todos los valores de la función que alcanza).

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## Dominio de funciones de varias variables

#### Ejemplo:

Consideremos la función `$f(x,y)=\sqrt{1-x^2-y^2}.$` ¿Cuál es el dominio de `$f$`? <br/><br/>

Consideremos que para que la raíz cuadrada de un número real, este debe ser positivo o cero. De tal manera que `$$1-x^2-y^2\geq 0\Leftrightarrow x^2+y^2\leq 1.$$` Esta función solo está definida en el disco unitario.

#### Ejemplo:

Consideremos la función `$f(x,y)=\ln(x^2+y^2-3).$` ¿Cuál es el dominio de `$f$`? <br/><br/>

Al igual que para la raíz cuadrada, el logaritmo sólo se aplica para números más grandes que `$0.$` De tal manera que `$$x^2+y^2-3>0 \Leftrightarrow x^2+y^2>3.$$`

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## Gráficas de funciones de varias variables.

> __Definición:__ Dada una función `$f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R},$` la __gráfica__ de `$f$` es el subconjunto de `$\mathbb{R}^3$` dado por los puntos `$$(x,y,f(x,y)),$$` donde `$(x,y)$` pertenecen al dominio de `$f.$`

#### Ejemplo:

Consideremos la función `$f(x,y)=3x+2y,$` entonces la gráfica de `$f$` es el conjunto de puntos de la forma: `$$(x,y,3x+2y).$$` Notemos que `$(0,0,0),\,(0,1,2)$` y `$(1,0,3)$` pertenecen a la gráfica.

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### ¿Qué pasa cuándo `$f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$`?

>__Definición:__ Dada una función `$f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$` definimos una __curva o superficie de nivel__ como el conjunto de puntos de `$\mathbb{R}^n$` tal que `$$f(x_1,\cdots,x_n)=k\quad \mbox{con }k\in\mathbb{R}.$$`

#### Ejemplo:

¿Cuáles son las curvas de nivel de `$f(x,y)=3x+y$`?

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#### Ejemplo:

¿Cuáles son las curvas de nivel de `$f(x,y)=xy$`?

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#### Ejemplo:

¿Cuáles son las curvas de nivel de `$f(x,y,z)=x+y+z$`?

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#### Ejemplo:

¿Cuáles son las curvas de nivel de `$f(x,y,z)=x^2+y^2$`?

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# Superficies básicas

En el siguiente link encontraremos un notebook de Mathematica con la descripción de las superficies básicas.

[Notebook](https://www.wolframcloud.com/obj/alejandroucan-puc/Published/Basic_Surfaces.nb)