class: center, middle, inverse, title-slide .title[ # Derivadas Parciales ] .subtitle[ ## Sesión 02 ] .author[ ### Alejandro Ucan ] .date[ ### 2023-02-09 ] --- # Objetivos: * Introduciremos las razones de cambio de una función multivariada. <br/><br/> * Definiremos el concepto de derivada parcial. <br/><br/> * Aplicaremos las reglas generales de derivación parcial. <br/><br/> --- # Motivación El __índice de calor__ ($I$) mide los efectos combinados de la temperatura y la humedad. `\(I\)` mide la sensación de la temperatura del aire cuando la temperatura es `\(T\)` y la humedad relativa es `\(H.\)`  ¿Cuál es la razón de cambio de `\(I\)` cuando variamos `\(T\)` en el punto `\((96,70)\)`? --- # Derivada Parcial > __Definición:__ dada una función `\(f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R},\)` la derivada parcial respecto a la variable `\(x_j,\)` denotada por `\(f_{x_j}=\frac{\partial f}{\partial x_j},\)` como el límite `$$\lim_{h\to 0} \frac{f(x_1,\cdots,x_j+h,x_{j+1},\cdots, x_n)-f(x_1,\cdots,x_j,x_{j+1},\cdots, x_n)}{h}.$$` -- #### Ejemplo 1: Calcule la derivada parcial respecto a `\(x\)` de la función `\(f(x,y)=3xy.\)` -- `$$f_x(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{3(x+h)y-3xy}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{3(x+h-x)y}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{3yh}{h}=3y.$$` --- #### Ejemplo 2: Calcule la derivada parcial respecto a `\(y\)` de la función `\(f(x,y,z)=xy-zx+4y.\)` -- <br/><br/> `$$f_y(x,y,z)=\lim_{h\to 0}\frac{x(y+h)-zx+4(y+h)-(xy-zx+4y)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{xh+4h}{h}=x+4.$$` -- <br/><br/> ¿Y respecto a `\(z\)`? -- <br/><br/> `$$f_y(x,y,z)=\lim_{h\to 0}\frac{xy-(z+h)x+4y-(xy-zx+4y)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{hx}{h}=x.$$` --- ## ¿Cómo Derivar Parcialmente? > Para derivar parcialmente una función respecto a una variable, basta con derivar la función suponiendo que las demás variables son constantes. -- #### Ejemplos: Calcule `\(f_x,\,f_y\)` y `\(f_z\)` para las siguientes funciones: <br/><br/> * `\(f(x,y)=\sin(x)+x\cos(y)\)` * `\(f(x,y)=e^{x+y}\)` * `\(f(x,y,z)=x\ln(z)+y\sqrt{x}.\)` --- # Visión geométrica de las Derivadas Parciales Aquí vemos las derivadas parciales de la función `\(f(x,y)=x^2+xy+y^3\)` en el punto `\((1,1).\)` <iframe src="https://www.geogebra.org/calculator/aemfszpg?embed" width="1200" height="400" allowfullscreen style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe> --- # Modelación con Derivadas Parciales: > La inflación en Argentina (en 2019) está dadapor la función `\(h(x,y)=e^{x+y}\sqrt{4-3x^2-2y^2},\)` donde `\(h\)` está medida en porcentaje, y `\((x,y)\)` representa un punto en la ciudad. Si observamos en el punto `\((1,1)\)` ¿A qué razón cambia la inflación cuando nos movemos en dirección vertical? ¿Y en dirección horizontal? -- `$$\frac{\partial f}{\partial x}=-e^{x + y} \frac{-4 + 3 x + 3 x^2 + 2 y^2}{\sqrt{4 - 3 x^2 - 2 y^2}}$$` `$$\frac{\partial f}{\partial x}=-e^{x + y} \frac{3 x^2 + 2 (-2 + y + y^2)}{\sqrt{4 - 3 x^2 - 2 y^2}}$$` --- # Derivación parcial implícita #### Ejemplo: Supongamos que `\(x,y,z\)` satisfacen la siguiente ecuación: `$$x^2+y^2-z^2=0.$$` Calcule `\(z_x\)` y `\(z_y.\)` -- <br/><br/> Tenemos que `$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{x}{z}$$` `$$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{y}{z}.$$` --- # Propiedades de la Derivada Parcial: > __Teorema:__ Sea `\(f,g:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\)` funciones donde `\(n=2,3.\)` Entonces se cumple: <br/><br/> * `\((f\pm g)_x=f_x\pm g_x.\)` <br/><br/> * `\((fg)_x = (f_x)g + f(g_x).\)` <br/><br/> * Si `\(g\neq 0,\)` entonces `\((f/g)_x =\frac{(f_x)g-f(g_x)}{g^2}.\)`