Derivadas Parciales de Orden Superior y Gradiente

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# Derivadas Parciales de Orden Superior y Gradiente
]
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## Sesión 02
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.author[
### Alejandro Ucan
]
.date[
### 2023-02-18
]

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# Objetivos:

* Introduciremos el concepto de Derivadas Parciales de Orden superior. <br/><br/>
  * Introduciremos el concepto de vector Gradiente. <br/><br/>
  * Interpretaremos geométricamente al gradiente. <br/><br/>
  * Modelaremos con el gradiente.

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# Derivadas Parciales de Orden Superior

> Si `$f$` es una función de dos variables, entonces `$$f_x \mbox{ y } f_y$$` son funciones de varias variables también. Por lo que también podemos encontrar sus derivadas parciales: `$$(f_x)_x,\, (f_x)_y,\, (f_y)_x,\, (f_y)_y.$$`
Que miden las razones de cambio (parcial) en las razones de cambio.

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#### Ejemplo:

> Calcule las segundas derivadas parciales de `$$f(x,y)=x^3+x^2y^2-2y^2.$$`

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`$$f_x(x,y)=3x^2 +2xy^2 \quad f_y(x,y)=2x^2y-4y$$`

`$$f_{xx}= 6x-2y^2 \quad f_{yx}=4xy$$` 
`$$f_{xy}=4xy \quad f_{yy}=2x^2-4$$`

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## Teorema de Clairaut

> __Teorema:__ Supongamos que `$f$` está definido en una región de `$\mathbb{R}^2$` que contenga al punto `$(a,b).$` Si las funciones `$f_{xy}$` y `$f_{yx}$` son continuas en `$D,$` entonces `$$f_{xy}(a,b)=f_{yx}(a,b).$$`

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# Gradiente

> __Definición:__ Si `$f$` es una función de dos variables `$x$` y `$y,$` el __gradiente__ de `$f$` es el vector (denotado por `$\nabla f$` ) definido por `$$\nabla f(x,y) =f_x \mathbf{i} +f_y \mathbf{j}.$$`

#### Ejemplo

> Calcule el gradiente de `$f(x,y)=\sin(x)+e^{xy}.$`

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`$$\nabla f(x,y)=(\cos(x)+ye^{xy})\mathbf{i}+xe^{xy}\mathbf{j}.$$`

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## Interpretación geométrica del Gradiente

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## Algunas Imágenes

#### Gradiente de `$f(x,y)=x^2-y^2$`

![Gradiente Ejemplo 1](Gradiente_Hiperboloid.png)

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#### Gradiente de `$f(x,y)=-x^2-y^2$`

![Gradiente Ejemplo 1](Gradiente_Pintura.png)

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#### Gradiente de `$f(x,y)=\cos(x)+e^{xy}$`

![Gradiente Ejemplo 1](Gradiente_Ejemplo.png)

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## Gradiente en tres variables

> Si `$f(x,y,z)$` es una función, entonces su gradiente está dado por `$$\nabla (x,y,z)=f_x\mathbf{i}+f_y\mathbf{j}+f_z\mathbf{k}.$$`

> __Teorema:__ Si `$f$` es una función entonces el camino de máxima crecimiento (decrecimiento) está dado por la indicada por el vector gradiente.

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# Modelación con el Gradiente

> Supongamos que nos encontramos en el cerro de la silla y que su altura está dada por la siguiente gráfica de curvas de nivel. ¿Que dirección tomaríamos si queremos descender lo más rápido? ¿Y si queremos ascender?

![Curvas de Nivel](LevelsE1A1.png)