class: center, middle, inverse, title-slide .title[ # Regla de la cadena ] .subtitle[ ## Sesión 04 ] .author[ ### Alejandro Ucan ] .date[ ### 2023-02-18 ] --- # Objetivos: * Introduciremos el concepto de cambios de variable. <br/><br/> * Definiremos la regla de la cadena. <br/><br/> * Aplicaremos la regla de la cadena. <br/><br/> --- # Motivación: > Consideremos la función `\(W(T,v)=13.12+0.62T -11.37v^{0.16}+0.39Tv^{0.16}\)` que mide la sensación termica del cuerpo donde `\(T\)` es la temperatura y `\(v\)` la velocidad del viento. <br/><br/> Pero tanto `\(T\)` como `\(v\)` dependen de la posición de la ciudad donde nos encontremos: `$$T(x,y)=17+3xy$$` `$$v(x,y)=-x^2+y^2$$` <br/><br/> Por lo que podemos obtener `$$V(T(x,y),v(x,y))$$` --- # Cambio de variables > __Definición:__ Un cambio de variables para una función `\(f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}\)` es una colección de `\(n-\)`funciones `\(g_1,\cdots,g_n:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}\)` tales que `$$f(g_1(x_1,\cdots, x_m),g_2(x_1,\cdots, x_m),\cdots,g_n(x_1,\cdots, x_m)).$$` -- #### Ejemplo 1: Consideremos la función `\(f(x,y)=xy\)` y el cambio de variable `$$x(u,v,w)=u+v+w\quad y(u,v,w)=u-v+w$$` Calcula la función `\(f\)` con su cambio de variable. -- `$$f(x(u,v,w),y(u,v,w))=(u+v+w)(u-v+w).$$` --- #### Ejemplo 2: Consideremos la función `\(f(x,y)=\ln(x\cos(y^2))\)` y el cambio de variable `$$x(u,v)=\sin(uv)\quad y(u,v)=e^{uv}$$` Calcula la función `\(f\)` con su cambio de variable. -- $$ f(x(u,v),y(u,v))=\ln(\sin(uv)\cos(e^{2uv}))$$ --- #### Ejemplo 3: Consideremos la función `\(f(x,y,z)=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)` y el cambio de variable `$$x(u,v)=\sin(u) \quad y(u,v)=\cos(u)\quad z(u,v)=uv$$` Calcula la función `\(f\)` con su cambio de variable. -- $$ f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))=\sqrt{u^2v^2}$$ --- # Regla de la cadena > __Teorema:__ Supongamos que `\(u:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}\)` es una función de `\(n-\)`variables con un cambio de variables `\(g_1,\cdots,g_n:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}.\)` Entonces se cumple que `$$\frac{\partial u}{\partial x_j}=\frac{\partial u}{\partial u}\frac{\partial g_2}{\partial x_j}+ \frac{\partial u}{\partial g_2}\frac{\partial g_2}{\partial x_j}+\cdots +\frac{\partial u}{\partial u}\frac{\partial g_n}{\partial x_j}$$` para `\(j=1,\cdots,m.\)` --- # ¿Cómo se ve la regla de la cadena?  --- #### Ejemplo 1: Calcula las derivadas parciales de la función `\(f(x,y)=xy\)` con el cambio de variable `$$x(u,v,w)=u+v+w\quad y(u,v,w)=u-v+w.$$` -- `$$f_u(u,v,w)=(u-v+w)+(u+v+w)$$` `$$f_v(u,v,w)=(u-v+w)-(u+v+w)$$` `$$f_w(u,v,w)=(u-v+w)+(u+v+w)$$` --- #### Ejemplo 2: Calcula las derivadas parciales de la función `\(f(x,y)=\ln(x\cos(y^2))\)` con el cambio de variable `$$x(u,v)=\sin(uv)\quad y(u,v)=e^{uv}.$$` -- $$ f_u(u,v)=\frac{1}{\sin(uv)}\cos(uv)v+\frac{-2e^{xy}\sin(e^{2uv})}{\sin(uv)\cos(e^{2uv})}ve^{uv}$$