class: center, middle, inverse, title-slide .title[ # Derivada Direccional ] .subtitle[ ## Sesión 05 ] .author[ ### Alejandro Ucan ] .date[ ### 2023-02-28 ] --- # Objetivos: * Conoceremos como calcular la razón de cambio en direcciones arbitrarias (derivada direccional). <br/><br/> * Definiremos la derivada direccional como producto de dos vectores. <br/><br/> * Modelaremos utilizando la derivada direccional. <br/><br/> --- # Motivación > Las curvas de nivel de la siguiente figura indican la cantidad de humedad respecto a la posición y queremos conocer la razón de cambio de la humedad que se obtiene siguiendo la dirección del huracan. ![Problematica](isobaras.png) --- ## Motivación visual ![Problematica 2](LevelCurves.jpg) --- # Motivación: > Si `$$h(x,y)=\cos(2x^2-xy+y^2)$$` representa la humedad del mapa. Y nos desplazamos en la curva dada por `\(x(t)=1+3t\)` y `\(y(t)=1+4t\)` con `\(0\leq t\leq 1.\)` <br/><br/> La el cambio de variable `$$h(t)=h(x(t)+y(t))=\cos(2(1+3t)^2-(1+3t)(1+4t)+(1+4t)^2)=\cos(22 t^2 + 13 t + 2)$$` mide la humedad en el camino. --- ## Resolviendo Si calculamos `\(h_t\)` con el cambio de variable obtendremos la razón de cambio de la humedad en el camino. La derivada es $$h_t = h_x x_t+h_y y_t = -\sin(2x^2-xy+y^2)\cdot (4x-y)\cdot 3 - \sin(2x^2-xy+y^2)\cdot (-x+2y)\cdot 4 $$ Cuando evaluamos en `\(t=0,\)` el valor de `\(x(1)=1\)` y `\(y(1)=1,\)` por lo que la razón en el instante `\(t=0\)` es: `$$h_t(0)=h_x(1,1)x_t(0)+h_y(1,1)y_t(0)$$` `$$=-\sin(2(1)-(1)(1)+(1)^2)\cdot (4(1)-1)\cdot 3 - \sin(2(1)^2-(1)(1)+(1)^2)\cdot (-1+2(1))\cdot 4$$` `$$h_t(0)=-13\sin(2)\approx -11.82$$` --- # Derivada direccional > __Definición:__ Si `\((u,v)\)` es una dirección en `\(\mathbb{R}^2,\)` `\(f(x,y)\)` es una función y `\(p=(x_0,y_0)\)` entonces la __derivada direccional__ de `\(f\)` en el punto `\(p\)` y dirección `\((u,v)\)` es la derivada de la función `\(f\)` con el cambio de variable `$$x(t)=x_0+ut\quad y(t)=y_0+vt,$$` y se denota por `\(D_{(u,v)}f(p).\)` -- Notemos que `\(h(t)=f(x(t),y(t))\)` tiene como derivada `$$h(t)=f_x(x_0,y_0)u+f_y(x_0,y_0)v$$` a este producto especial se le denota por `\(\nabla f(p)\cdot (u,v).\)` --- #### Ejemplos: > Calcule la derivada de la función `\(f(x,y)=x^2y^3-4y\)` en el punto `\((2,-1)\)` y en la dirección `\((2,5)\)`. -- 1. Calculamos el vector gradiente `\(\nabla f\)` en el punto `\((2,-1):\)` `$$\nabla f(2,-1)=(2xy^3,3x^2y^2-4)|_{(2,-1)}=(-4,8)$$` 2. Calculamos calculamos la derivada direccional `\(D_{(u,v)}f=\nabla f(2,-1)\cdot (2,5)=(-4)(2)+(-1)(5)\)` --- #### Ejemplos: > Calcule la derivada de la función `\(f(x,y)=y^2/x\)` en el punto `\((1,1)\)` y en la dirección `\((2,1)\)`. -- 1. Calculamos el vector gradiente `\(\nabla f\)` en el punto `\((1,1):\)` `$$\nabla f(1,1)=\left(-\frac{y^2}{x^2},\frac{2y}{x}\right)|_{(1,1)}=(-1,1)$$` 2. Calculamos calculamos la derivada direccional `$$D_{(u,v)}f=\nabla f(1,1)\cdot (2,1)=(-1)(2)+(1)(2)$$` --- # ¿Qué pasa si cambiamos la curva que seguimos? > En el ejemplo tenémos que `\(x(t)=1+3t\)` y `\(y(t)=1+4t,\)` podemos considerar: <br/><br/> * `\(x(t)=1+\frac{3}{2}t\)` y `\(y(t)=1+2t,\)` tenemos que `\(h_t(0)=\frac{-13\sin(2)}{2}\approx -5.91\)` <br/><br/> * `\(x(t)=1+\frac{3}{5}t\)` y `\(y(t)=1+\frac{4}{5}t,\)` tenemos que `\(h_t(0)=-\frac{13 \sin(2)}{5}\approx -2.36\)` <br/><br/> * `\(x(t)=1+t\)` y `\(y(t)=1+\frac{4}{3}t,\)` tenemos que `\(h_t(0)=\frac{-13\sin(2)}{3}\approx -3.94\)` <br/><br/> --- ## Direcciones unitarias __Nota:__ A partir de ahora, siempre que nos pidan una dirección tomaremos la dirección unitaria del vector. Para esto necesitamos tomar el vector `$$\left(\frac{u}{\sqrt{u^2+v^2}},\frac{v}{\sqrt{u^2+v^2}}\right)$$` --- #### Ejemplos: > Calcule la derivada de la función `\(f(x,y)=x^4y-4y^2\)` en el punto `\((2,-1)\)` y en la dirección `\((2,5)\)`. -- 1. Primero volvemos unitario mi vector: `$$\left(\frac{2}{\sqrt{2^2+5^2}},\frac{5}{\sqrt{2^2+5^2}}\right)=\left(\frac{2}{\sqrt{29}},\frac{5}{\sqrt{29}}\right)$$` 2. Calculamos el vector gradiente `\(\nabla f\)` en el punto `\((2,-1):\)` `$$\nabla f(2,-1)=(4x^3y,x^3-8y)|_{(2,-1)}=(32,16)$$` 3. Calculamos calculamos la derivada direccional `$$D_{(u,v)}f=\nabla f(2,-1)\cdot \left(\frac{2}{\sqrt{29}},\frac{5}{\sqrt{29}}\right)=\frac{(32)(2)+(16)(5)}{\sqrt{29}}$$` --- #### Ejemplos: > Calcule la derivada de la función `\(f(x,y)=\frac{\ln(y)}{x-3}\)` en el punto `\((1,1)\)` y en la dirección `\((1,1)\)`. -- 1. Verificamos si mi vector es unitario: `$$\left(\frac{1}{\sqrt{1^2+1^2}},\frac{1}{\sqrt{1^2+1^2}}\right)=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$$` 2. Calculamos el vector gradiente `\(\nabla f\)` en el punto `\((1,1):\)` `$$\nabla f(1,1)=\left(-\frac{\ln(y)}{(x-3)^2},\frac{1}{y(x-3)}\right)|_{(1,1)}=\left(0,\frac{-1}{2}\right)$$` 2. Calculamos calculamos la derivada direccional `$$D_{(u,v)}f=\nabla f(1,1)\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=(0)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)+\left(-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$$` --- # Modelación con Derivadas direccionales > La temperatura en el punto `\((x,y,z)\)` está dada por `\(T(x,y,z)=200e^{-x^2-3y^2-9z^2}\)` encuentra la razón de cambio en el punto `\(P(2,-1,2)\)` en dirección al punto `\((3,-3,3).\)` -- 1. Hacemos unitaria la dirección `\(\left(\frac{3}{\sqrt{3^2+(-3)^2+3^2}},\frac{-3}{\sqrt{3^2+(-3)^2+3^2}},\frac{3}{\sqrt{3^2+(-3)^2+3^2}}\right)=\left(\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\)` 2. Calculamos el gradiente en `\((2,-1,2)\)` `$$\nabla f (2,-1,2)=(-400 e^{-x^2 - 3 y^2 - 9 z^2} x, -1200 e^{-x^2 - 3 y^2 - 9 z^2} y, -3600 e^{-x^2 - 3 y^2 - 9 z^2) z}|_{(2,-1,2)}$$ `$$=(-800e^{-43}, 1200e^{-43}, -7200e^{-43})$$` 3. Calculamos la derivada direccional `$$D_{(3,-3,3)}f(2,-1,2)=(-800e^{-43}, 1200e^{-43}, -7200e^{-43})\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$$`