class: center, middle, inverse, title-slide .title[ # Derivada Total y Plano tangente ] .subtitle[ ## Sesión 06 ] .author[ ### Alejandro Ucan ] .date[ ### 2023-02-26 ] --- # Objetivos: * Aproximar una función mediante un plano. <br/><br/> * Introduciremos el ecuación del plano (y el polinomio de Taylor). <br/><br/> * Describiremos la razón de cambio total usando esta aproximación. <br/><br/> --- # Motivación > La función `\(f(x,y)=\ln(x+y)\)` modela la altura de una falla fisiológica en California. Debido a que nos encontramos en una investigación de campo, no tenemos herramientas para calcular la el valor de la altura en el punto `\((0.3,-0.3).\)` ¿Cómo aproximarían esta altura?  --- # Recordemos > Recordemos que mis derivadas parciales `\(f_x\)` y `\(f_y\)` son las pendientes de las rectas tangentes a la función en `\((x_0,y_0).\)` Veamos estas rectas tangentes en el punto `\((1,0)\)` que está cerca del punto deseado. <iframe src="https://www.geogebra.org/classic/txd5dnqk?embed" width="1000" height="300" allowfullscreen style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe> --- # El plano tangente > Notemos que si queremos conocer la ecuación del plano `\(T\)` tangente a `\(f\)` en el punto `\((x_0,y_0),\)` este necesariamente tiene que contener a todas las rectas tangentes a las curvas que pasen por `\((x_0,y_0,f(x_0,y_0)).\)` <br/><br/> Recordemos que la ecuación de una recta es: `$$z-z_0 = A(x-x_0)+B(y-y_0),$$` donde `\(z_0=f(x_0,y_0).\)` <br/><br/> Si cortamos a la función y al plano con el plano `\(y=y_0,\)` obtenemos que `$$z-z_0=A(x-x_0)$$` y esta es una recta tangente a la curva. --- # El plano tangente > Si cortamos a la función y al plano con el plano `\(x=x_0,\)` obtenemos que `$$z-z_0 = B(y-y_0)$$` y esta una recta tangente a la curva. <br/><br/> Estas dos rectas tangentes las conocemos, sabemos que tienen pendientes `$$f_x(x_0,y_0)\quad \mbox{y}\quad f_y(x_0,y_0).$$` Por lo tanto, la ecuación del plano tangente es `$$z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0).$$` --- ## ¿Cómo aproximamos con el plano tangente? > Recordemos que queremos aproximar el valor de `\(\ln(0.3,-0.3)\)` y para ello usaremos la ecuación del plano tangente a `\(f\)` en el punto `\((1,0).\)` Las derivadas parciales de `\(f\)` en `\((1,0)\)` son: `$$f_x(1,0)=1\quad \mbox{y}\quad f_y(1,0)=-1.$$` Así que el plano tangente a `\(f\)` en `\((1,0)\)` es: `$$z-0=1(x-1)+(-1)(y-0).$$` El valor de `\(z\)` cuando `\(x=0.3\)` y `\(y=-0.3.\)` <br/><br/> Sustituyendo en la ecuación del plano obtenemos: `$$z=(0.3-1)+(-1)(-0.3)=-0.4.$$` Así que `\(f(0.3,-0.3)\approx -0.4.\)` --- #### Ejemplo: > Calcule la ecuación del plano tangente a `\(f(x,y)=2x^2+y^2\)` en el punto `\((1,1,3).\)` -- 1. Encontramos las derivadas parciales de `\(f\)` en el punto `\((1,1).\)` `$$f_x(1,1)=4(1)=4 \quad \mbox{y} \quad f_y(1,1)=2(1)=2.$$` <br/><br/> 2. Sustituimos los valos de las derivadas y `\((x_0,y_0,z_0)=(1,1,8)\)` en la ecuación del plano `$$z-8=4(x-1)+2(y-1).$$` --- #### Ejemplo: > Utilizando la linearización de la función `\(f(x,y)=xe^{xy}\)` aproxime el valor de la función en `\((1.1,-0.1).\)` -- 1. Notemos que el punto más adecuado para poner nuestro plano tangente es `\((1,0,1).\)` 2. Calculamos las derivadas parciales de `\(f\)` en `\((1,0):\)` `$$f_x(1,0)=1e^0+(1)(0)e^0=1\,\mbox{y}\, f_y(1,0)=(1)^2e^0=1.$$` 3. Calculamos la ecuación del plano tangente: `$$z-1=1(x-1)+1(y-0)=x-1+y$$` 4. Aproximamos `\(f(1.1,-0.1)\)` `$$z-1=1.1-1-0.1\Leftrightarrow z=0.1-0.1+1=1.$$` --- ### Ejemplo: > Con la siguiente tabla, aproxime los valores de la función cuando están cerca de `\((96,70)\)`  --- ## La derivada Total > Con la ecuación del plano tangente a `\(f\)` en un punto `\((x_0,y_0,f(x_0,y_0))\)` podemos inducir el valor de la razón de cambio _total_ de la función. Recordemos que la ecuación del plano tangente es `$$f(x,y)-f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0).$$` -- <br/><br/> Si nos acercamos cada vez más a `\((x_0,y_0),\)` mis incrementos se vuelven infinitesimales y podemos reescribirlos como `$$dz=df=f_x dx + f_y dy$$` dónde `\(dx\)` y `\(dy\)` significan el incremento que hemos dado de `\((x_0,y_0)\)` a `\((x,y).\)` --- #### Ejemplo > Calcula la derivada total de `\(f(x,y)=x^2+3xy-y^2.\)` Calcule el valor de la derivada total cuando cambiamos de `\((2,3)\)` a `\((2.05,2.95).\)` -- 1. Encontramos las expresiones de las derivadas parciales: `$$f_x(x,y)=2x+3y\quad\mbox{y}\quad f_y(x,y)=3x-2y.$$` 2. Expresamos la diferencial `$$dz= f_x dx+ f_y dy =(2x+3y)dx+(3x-2y)dy$$` 3. Calculamos `\(dz\)` cuando `\(x=2,\)` `\(dx=2.05-2=0.05,\)` `\(y=3\)` y `\(dy=2.96-3=-0.04\)` `$$dz=(2(2)+3(3))(0.05)+(3(2)-2(3))(-0.04)$$` `$$=0.65.$$` --- #### Ejemplo > El radio de la base y la altura de un cono circular tiene como medidas `\(10cm\)` y `\(25cm,\)` respectivamente. Pero se detectó un error de medida y se estima que este error sea de `\(0.1cm\)` por medida. Use la diferencial para estimar el máximo error posible en el volumen.