Optimización, Máximos y Mínimos

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# Optimización, Máximos y Mínimos
]
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## Sesión 07
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.author[
### Alejandro Ucan
]
.date[
### 2023-03-04
]

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# Objetivos:

* Introduciremos los tipos de valores extremos y su geometría. 
 * Introduciremos el criterio para determinar estos. 
 * Modelaremos con valores extremos y optimización de funciones.

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Motivación:

Supongamos que la siguiente función `$$I(t,p)=-0.3e^{1-(t-2)^2-(p-3)^2}+0.1\cos(t+p)$$` predice la diferencia entre el valor del peso argentino y el dolar, basada en el tiempo y el valor del dolar. Nos gustaría conocer si para un tiempo determinado y un valor del dolar, esta diferencia es la menor posible.

![Inflacion](Inflation.jpg)

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# Valor extremos locales.

> __Definición:__ dada una función `$f(x,y),$` decimos que `$f(a,b)$` es un valor extremo si:
 
1. __máximo local:__ `$f(x,y)\leq f(a,b)$` para cualquier `$(x,y)$` cercano a `$(a,b).$` 
2. __mínimo local:__ `$f(x,y)\leq f(a,b)$` para cualquier `$(x,y)$` cercano a `$(a,b).$`

> __Teorema:__ Si `$f$` tiene un valor extremos en `$(a,b)$` entonces `$f_x(a,b)=0$` y `$f_y(a,b)=0.$`

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# Puntos Críticos

> __Definición:__ Decimos que `$(a,b)$` en el dominio de `$f$` es un __punto crítico__ para `$f$` si `$$f_x(a,b)=f_y(a,b)=0$$` o alguna de estas no existe.

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#### Ejemplo:

Calcule los puntos críticos de `$f(x,y)=x^2+y^2-2x+6y+14$` y `$g(x,y)=y^2-x^2.$`

1. Derivamos e igualamos a cero para resolver esa ecuación: `$$f_x(x,y)=2x-2=0\Rightarrow x=1$$`
`$$f_y(x,y)=2y+6=0 \Rightarrow y=-3$$`

2. Derivamos e igualamos a cero para resolver esa ecuación: `$$g_y(x,y)=2y=0 \Rightarrow y=0.$$`
`$$g_x(x,y)=-2x=0 \Rightarrow x=0.$$`

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# ¿Es máximo o mínimo?

En el ejemplo anterior veamos si mi función es máximo o mínimo.

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# ¿Cómo decidir que tipo de valor extremo tenemos?

> __Teorema:__ Sea `$f$` una función cuyas segundas derivadas parciales son continuas cerca de `$(a,b)$` y `$(a,b)$` es un punto crítico de `$f.$` Entonces, sea `$$D=D(a,b)=f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)-[f_{xy}(a,b)]^2.$$` 
1. Si `$D>0$` y `$f_{xx}(a,b)>0,$` entonces `$f(a,b)$` tiene un mínimo local en `$(a,b).$`
1. Si `$D>0$` y `$f_{xx}(a,b)<0,$` entonces `$f(a,b)$` tiene un máximo local en `$(a,b).$`
1. Si `$D<0,$` no se puede decidir.

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# Ejemplo:

Para mi función del valor del peso argentino respecto al dolar, `$$I(t,p)=-0.3e^{1-(t-2)^2-(p-3)^2}$$` determine si el punto que vemos realmente es un mínimo.

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1. El punto crítico es (2,3), puesto que `$$f_t(t,p)=0.6(t-2)e^{1-(t-2)^2-(p-3)^2}$$`
`$$f_p(t,p)=0.6(p-3)e^{1-(t-2)^2-(p-3)^2}$$`
2. Mis segundas derivadas parciales evaluadas en `$(2,3)$` son:

`$$D(2,3)=\det\left(\begin{array}{cc} I_{tt}(2,3) & I_{tp}(2,3)\\ 
I_{tp}(2,3) & I_{pp}(2,3) \end{array}\right)=
\det\left(\begin{array}{cc} 1.63 & 0 \\ 0 & 1.63 \end{array}\right) = 2.66$$`

Lo cual implica que es un mínimo.

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# Optimización

> Queremos empaquetar un producto en una caja cuya tapa este hecha por un cartón de `$12m^2.$` Nuestro jefe nos pide encontrar las medidas de la caja para las cuales el volumen se maximiza.

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1. Encontrar mi función objetivo: `$$V(x,y,z)=xyz$$` pero `$2xz+2yz+xy=12$` por hipótesis, entonces despejando `$z,$` obtenemos que `$$V(x,y)=xy\frac{12-xy}{2(x+y)}.$$`

1. Encontramos los puntos críticos: 
`$$V_x=\frac{y^2(12-2xy-x^2)}{2(x+y)^2}\quad V_y=\frac{x^2(12-2xy-y^2)}{2(x+y)^2}$$`

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Que son cero cuando `$$12-2xy-x^2=0$$` `$$12-2xy-y^2=0.$$`

3. Lo anterior implica que `$x^2=y^2,$` y como son medidas pues `$x=y.$` Entonces `$$12-3x^2=0\Rightarrow x=y=2$$` y `$$z=\frac{12-(2)(2)}{2(2+2)}=1.$$`

4. Comprobamos que en efecto sea un máximo con el criterio de la segunda derivada.

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