Optimización con Restricciones

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# Optimización con Restricciones
]
.subtitle[
## Sesión 08
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.author[
### Alejandro Ucan
]
.date[
### 2023-03-09
]

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# Objetivos:

* Conocer las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de valores extremos en problemas con restricción. <br/><br/>
 * Encontrar estos valores mediante el método de los multiplicadores de Lagrange.
 
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# ¿Optimización con restricciones?

> __Ejemplo:__ Una caja rectangular sin tapa está hecha con `$12m^2$` de cartón. Encuentre el volumen máximo de la caja.

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Notemos que tenemos una restricciones de las variables y es que satisfagan `$$A_{sup}=2xz+2y+xy=12.$$`

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# Intuitivamente

Queremos encontrar los valores extremos de una función `$f(x,y)$` de tal manera que las variables cumplan una restricción que pueda expresarse como una curva de nivel de una función `$g(x,y).$` <br/><br/>

Queremos encontrar los `$(x,y)$` tal que `$$f(x,y)\mbox{ tiene un valor extremo}$$` `$$g(x,y)=k.$$`

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## Visualmente esto se ve como

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## El mutiplicador

> __Definición:__ Dada las condiciones del dibujo anterior, diremos que `$\lambda$` es un __multiplicador de Lagrange__ si satisface que `$$\nabla f(x_0,y_0,z_0)=\lambda \nabla g(x_0,y_0,z_0).$$`

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# El método de Multiplicadores de Lagrange.

> Para encontrar los valores extremos de `$f(x,y,z)$` sujeto a la restricción `$g(x,y,z)=k,$` suponiendo que `$\nabla g\neq 0.$` <br/><br/>
  * Encontrar los valores `$x,y,z$` y `$\lambda$` para los que se cumpla `$$\nabla f(x,y,z)=\lambda \nabla g(x,y,z)$$` `$$g(x,y,z)=k.$$`
  * Evalua `$f$` en estos puntos, el mayor de estos números es al máximo y el menor el mínimo. 
  
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# Ejemplo 1:

> Calcule los valores extremos de la función `$f(x,y)=5x^2+6y^2-xy$` restringida a `$x+2y=24.$`

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1. Calculamos el gradiente de la función objetivo: `$$\nabla f= (10x-y,12y-x)$$`
1. Calculamos el gradiente de la restricción: `$$\nabla g =(1,2)$$`
1. Identificamos nuestro sistema de ecuaciones `$$10x-y=\lambda$$` `$$12y-x=\lambda$$` `$$x+2y=24$$`
1. Resolvemos el sistema con técnicas de sistemas ecuaciones:
1. Mi resultado es `$$y=-\frac{-288}{25},\quad x=\frac{576}{5}.$$`

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# Ejemplo 2:

> Encuentre los valores extremos de la función `$f(x,y,z)=2x^2+y^2+3z^2$` bajo la restrincción  `$2x-3y-4z=49.$`

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# Ejemplo 3:

> La función de producción de Cobb-Douglas para una producción está dada por `$f(x,y)=100x^{3/4}y^{1/4}.$` Dónde `$x$` son las unidades de producción (a 150mxn por unidad) y `$y$` son las unidades de capital (a 250mxn por unidad). Si nuestras unidades de producción y capital están restringidas a 50000mxn. Encuentra la máxima producción para esta manufactura.

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# Ejemplo 4:

>  El fabricante de prótesis biólogicas BioTech ha desarrollado un modelo de ganancias que depende del número de protesis ($x$) que vende al mes (en miles) y el número de horas al mes que invierte en publicidad ($y$). `$$f(x,y)=48x+96y-x^2-2xy-9y^2.$$`
Nuestro presupuesto de producción de unidades de prótesis y publicidad está dada por `$20x+4y=216.$` Halle el número de protesis y horas de publicidad que maximizan mi ganacia.