Integrales Multiples

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# Integrales Multiples
]
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## Sesión 09
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.author[
### Alejandro Ucan
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.date[
### 2023-03-25
]

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# Objetivos:

* Utilizar el concepto de integral multiple para calcular volúmenes y áreas. 
 * Utilizar el teorema de Fubini para calcular integrales multiples como integrales iteradas.

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# Partición de un rectángulo y Sumas de Riemann.

Supongamos que tenemos una _región_ rectangular `$R$` en `$\mathbb{R}^2,$` acotada por `$a\leq x\leq b$` y `$c\leq y\leq d.$` Una __partición__ es una _malla_ formada por los pares de puntos `$(x_i,y_j)$` tales que `$$x_{i+1}-x_i=\frac{b-a}{n}\quad\mbox{y}\quad y_{j+1}-y_j=\frac{c-d}{m}.$$`

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# Partición de un rectángulo y Sumas de Riemann.

> Si `$f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$` es una función continua y acotada en la región rectangular `$R,$` entonces la suma `$$\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^m f(x_i,y_j) \Delta x \Delta y$$` _aproxima_ el volumen bajo la superficie (gráfica de la función).

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# Refinando Sumas de Riemann

![Sumas](refriemannsums.png)

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# La integral doble

> Mientras más refinamos nuestra partición, nuestra aproximación del volumen mejora. Por lo que _en el límite_ de refinamientos obtenemos el volumen. 
La _integral doble_ se conoce de `$f(x,y)$` en la región `$R$` se denota como `$\int_{R}f\, dA,$` y define como el límite: `$${\int\!\int}_R f(x,y)dA =\lim_{(n,m)\to (0,0)} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^m f(x_i,y_j) \Delta x \Delta y.$$`

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# Propiedades de la integral doble

> __Teorema:__ Cualquier función continua definida en un rectángulo es integrable.

> __Teorema:__ La integral doble es lineal, es decir, si `$f$` y `$g$` son funciones continuas sobre una región `$R,$` entonces: `$$\int_R (kf+lg)\,dA=k\int_R f\,dA+l\int_R g\,dA.$$`

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# ¿Cómo calculo integrales dobles sin utilizar sumas y límites?

> __Teorema (de Fubini):__ Si `$f(x,y)$` es una función integrable en la región `$R=[a,b]\times[c,d],$` entonces la integral `$\int_R f\,dA$` coincide con la cantidad: `$$\int_c^d \left[ \int_a^b f(x,y)dx \right]dy=\int_a^b \left[ \int_c^d f(x,y)dy \right]dx.$$`

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# Ejemplo 1:

Calcula la integral de la función `$f(x,y)=x^2+yx$` en el rectángulo `$R=[0,1]\times[0,1].$`

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# Ejemplo 2:

Calcula la integral de la función `$f(x,y)=x^3y-12xy$` en el rectángulo `$R=[-2,1]\times[0,1].$`

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# ¿Siempre integraremos en rectángulos?

> __Definición:__ Una región elemental en `$\mathbb{R}^2$` es una región del plano que es `$x-$`simple y `$y-$`simple. 
 * Una región en `$\mathbb{R}^2$` es `$y-$`simple si se puede escribir como `$$a\leq x\leq b \quad \mbox{y} \quad \phi_1(x)\leq y \leq \phi_2(x).$$` 
 * Una región en `$\mathbb{R}^2$` es `$x-$`simple si se puede escribir como `$$c \leq y \leq d \quad \mbox{y} \quad \psi_1(y)\leq x\leq \psi_2(y).$$`

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# El Teorema de Fubini más general.

Podemos usar propiedades de integrales de una variable, y finalmente nuestra integral doble se expresa de la manera:

> __Teorema:__ Si `$D$` es una región simple y `$f$` es integrable en `$D,$` entonces `$$\int_D f\,dA = \int_a^b \int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)} f(x,y)dydx.$$`

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# Ejemplo 3:

Calcule el valor de la integral de `$f(x,y)=\sqrt{\frac{x}{y}}$` en la región `$R$` acotada entre `$0\leq x \leq 1$` y `$x^2\leq y \leq x.$`

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# Ejemplo 4:

Encuentre el volumen del prisma cuya base se encuentra en el plano `$xy$` acotado por el eje `$x$` y las rectas `$y=x$` y `$x=1,$` y cuya tapa pertenece al plano `$$z=f(x,y)=3-x-y.$$`

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# Ejercicio:

Encuentra el volumen acotado por el plano `$xy$` y la función `$f(x,y)=16-x^2-y^2,$` sobre la región `$R$` dada por las curvas `$y=2\sqrt{x},$` `$y=4x-2$` y el eje `$x.$`