class: center, middle, inverse, title-slide .title[ # Integrales Multiples parte II ] .subtitle[ ## Sesión 10 ] .author[ ### Alejandro Ucan ] .date[ ### 2023-04-11 ] --- # Objetivos: * Realizar cambios de orden en integrales generales. <br/><br/> * Conocer las aplicaciones generales de la integral. <br/><br/> --- # Ejemplo: > Encuentra el valor de la integral de `\(f(x,y)=4x+2\)` en la región acotada por `\(y=x^2\)` y `\(y=2x,\)` integrando primero respecto a `\(x.\)` --- # Ejercicio: > Calcula el valor de la integral de `\(f(x,y)=x\)` en la región acotada por `\(x=0,\)` `\(y=0\)` y `\(y=\sqrt{1-x^2}.\)` --- # Otras propiedades de la integral 1. __Dominación:__ * Si `\(f(x,y)\leq 0\)` entonces `$$\int\int_{R} f(x,y)dA \leq 0.$$` * Si `\(f(x,y)\leq g(x,y)\)` en una región `\(R\)` entonces `$$\int\int_{R}f dA \leq \int\int_R g dA.$$` 1. __Aditividad (en regiones):__ Supongamos que `\(R\)` se puede expresar como la unión de dos regiones disjuntas simples `\(R_1\)` y `\(R_2,\)` entonces `$$\int\int_R f dA =\int\int_{R_1}f dA + \int\int_{R_2} f dA.$$` --- # Área de una región: > __Definición:__ el área de una región plana `\(R\)` en `\(\mathbb{R}^2\)` está dada por la integral `$$\int\int_{R}dA.$$` __Ejemplo:__ Calcular el región de la región acotada por las rectas `\(y=\sqrt{x}\)` y `\(y=x^2.\)` --- # Ejercicio: > Encuentre el área de la región acotada por la parábola `\(y=x^2\)` y `\(y=x+2.\)` --- # El valor promedio > __Definción:__ el valor promedio de una función sobre una región `\(R\)` se define como la integral `$$prom(f,R)=\frac{\int\int_{R}fdA}{\int\int_{R}dA}.$$` __Ejemplo:__ Calcule el valor promedio de la función `\(f(x,y)=x\cos(xy)\)` en el rectángulo $0\leq x\leq \pi $ y `\(0\leq y\leq 1.\)` --- # Ejercicio: > La siguiente función muestra la distribución de las edades en años de una escuela donde `\(x\)` representa el número de hombre y `\(y\)` el de mujeres, `\(f(x,y)=xy+x^2+y^3,\)` si sabemos que hay `\(0<x<10\)` y `\(0<y<5.\)` Calcule el valor promedio de la edad. --- # Masa y Centro de Masa > __Definición:__ Supongamos que tenemos una región `\(R\)` cuya distribución de densidades está dada por la función `\(\delta(x,y),\)` entonces <br/><br/> 1. La masa del objeto se define como `$$\int\int_R \delta(x,y)dA.$$` <br/> 1. Los momento de masa son: `$$M_x=\int\int_R y\delta(x,y)dA \mbox{ y } M_y=\int\int_R x\delta(x,y)dA.$$` <br/> 1. El centroide de masa estará dado por `$$\left(\frac{M_y}{M},\frac{M_x}{M}\right).$$` --- # Ejercicio: > En el triángulo acotado por la región `\(0\leq x\leq 1\)` y `\(0\leq y \leq 2x\)` tenemos una distribución de densidades dada por `\(\delta(x,y)=6x+6y+6.\)` Calcula la masa y el centro de masa. --- # Probabilidades > Supongamos que tenemos variables aleatorias `\(x\)` y `\(y,\)` y `\(P(x,y)\)` es la distribución de probabilidad en una región `\(R,\)` es decir, `$$\int_R PdA=1.$$` Si queremos conocer la probabilidad que ocurra un evento `\(C,\)` entonces calculamos `$$\int_C PdA.$$` --- #### Ejemplo > Considere las variables `\(x,y\)` con distribución de probabilidad `$$f(x,y)=\frac{x+2y}{1500}$$` en `\([0,10]\times[0,10].\)` Calcule la probabilidad que ocurra `\(y\geq 7\)` y `\(x\leq 2\)`.