Integrales Triples

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# Integrales Triples
]
.subtitle[
## Sesión 12
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.author[
### Alejandro Ucan
]
.date[
### 2023-04-09
]

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# Objetivos:

* Conocer la diferencial de volumen. 
 * Definir la integral en `$\mathbb{R}^3$`. 
 * Calcular integrales triples en regiones elementales.

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# Integral triple:

> Sea `$f(x,y,z)$` una función continua en una región caja dada por `$B=[a,b]\times [c,d]\times [e,f].$` Dada una partición de la región `$(x_i,y_j,z_k)$` con 
`$$x_{i+1}-x_{i}=\Delta x,\quad y_{j+1}-y_j=\Delta y \mbox{ y } z_{k+1}-z_k =\Delta z.$$` Entonces la siguiente suma aproxima el volumen debajo de la gráfica de `$f,$` `$$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^s f(x_i,y_j,z_k)\Delta x \Delta y \Delta k.$$` 
 
Refinando la partición, en el límite obtenemos la integral de la función en la región `$R,$` denotada por `$$\int_B f \, dV.$$`

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# ¿Cómo calculo integrales triples?

El teorema de Fubini es valido para integrales triples, así que para calcularlo basta realizar una integración iterada.

`$${\int\!\int\!\int}_B fdV=\int_a^b \int_c^d \int_e^f f(x,y,z)dzdydx.$$`

Y el orden no afecta.

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# ¿Sólo puedo integrar en cajas?

> __Definición:__ Una región __elemental__ en `$\mathbb{R}^3$` es una región en la cual una de las variables está acotada entre dos funciones de las otras dos variables.

__Ejemplo:__ La __bola__ de radio uno en `$\mathbb{R}^3$` es una región elemental descrita por la siguientes inecuaciones: `$$-1\leq x\leq 1,$$`
`$$-\sqrt{1-x^2} \leq y\leq \sqrt{1-x^2},$$` 
$$ -\sqrt{1-x^2-y^2} \leq z \leq \sqrt{1-x^2-y^2}.$$

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# Ejemplos:

Algunos ejemplos de regiones elementales:

* Consideremos la región dada por un cilindro: `$$-1\leq x \leq 1$$` `$$-\sqrt{1-x^2}\leq y \leq \sqrt{1-x^2}$$` $$ -2\leq z \leq 2.$$

* Consideremos un prisma triangular: `$$-1 \leq x \leq 2$$` `$$0\leq y \leq 2$$` `$$0\leq z\leq 3-2x-2y$$`

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# Ejemplo 1:

> Encuentre la integral de `$f(x,y,z)=z$` en la región acotada por los planos `$x=0,\,y=0,\, z=0$` y `$x+y+z=1$`

`$$R: 0\leq x\leq 1,\, 0\leq y \leq 1-x,\, 0\leq z\leq 1-x-y.$$`

`$$\int\int\int_R z dV= \int_0^1\int_0^{1-x}\int_0^{1-x-y} z dzdydx$$`
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# Ejemplo:

> Encuentre la integral de la función `$f(x,y,z)=\sqrt{x^2+z^2}$` en la región acotada por el paraboloide `$y=x^2+z^2$` y `$y=4.$`

`$$E: -2\leq x\leq 2,\, -\sqrt{4-x^2}\leq z\leq \sqrt{4-x^2},\, x^2+z^2\leq y\leq 4$$`

`$$\int\int\int_E \sqrt{x^2+z^2}dV= \int_{-2}^2\int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}\int_{x^2+z^2}^4  \sqrt{x^2+z^2} dydzdx$$`
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#### Ejemplo 1:

Calcula las siguientes integrales
  * `$\int_0^1\int_0^z\int_0^{x+z}6xzdydxdz$`
  * `$\int_0^1\int_0^z\int_0^y ze^{-y^2}dxdydz$`
  * `$\int_0^{\sqrt{\pi}}\int_0^x\int_0^{xz}x^2\sin(y)dydzdx$`

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#### Ejemplo 2:

Dibuja la región `$E$` y calcula la integral de `$f(x,y,z)=6.$` La región `$E$` es la región acotada bajo el plano `$z=1+x+y$` y `$z=0$` acotadas por las curvas `$y=\sqrt{x},\, y=0$` y `$x=1.$`

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#### Ejemplo 3:
Dibuja la región `$E$` y calcula la integral de `$f(x,y,z)=xy.$` La región `$E$` es la región acotada por los cilindros parabólicos `$z=1-y^2$` y `$x=y^2$` y los planos `$z=0$` y `$z=x+y.$`