class: center, middle, inverse, title-slide .title[ # Coordenadas Cilíndricas ] .subtitle[ ## Sesión 13 ] .author[ ### Alejandro Ucan ] .date[ ### 2023-04-17 ] --- # Objetivos: * Definir el sistema de coordenadas cilíndrico. <br/><br/> * Determinar el diferencial de volumen en coordenadas cilíndricas. <br/><br/> * Calcular integrales triples en coordenadas cilíndricas. --- # Coordenadas Cilíndricas `\((\theta,r,z).\)` <iframe src="https://www.geogebra.org/calculator/za424zgv?embed" width="1200" height="450" allowfullscreen style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe> --- # ¿Cómo traduzco entre coordenadas? Existen expresiones que nos permiten hacer la conversión entre distintos tipos de coordenadas. Por ejemplo: > Si tengo un punto `\((x,y,z)\)` (coordenadas rectangulares) y lo quiero en coordenadas _cilíndricas_, entonces se cumple: <br/> - `\(r^2= x^2+y^2,\)` <br/> - `\(\tan(\theta)=\frac{y}{x}\)` y <br/> - `\(z=z.\)` <br/> > Si tengo un punto `\((\theta,r,z)\)` y lo quiero en coordenadas _rectangulares_, entonces se cumple: <br/> - `\(x=r\cdot \cos(\theta)\)` <br/> - `\(y=r\cdot \sin(\theta)\)` y - `\(z=z.\)` --- ## Veamos algunas regiones cilíndricas > Describa la región acotada por el plano `\(z=0\)` y el paraboloide `\(z=4-x^2-y^2\)` en coordenadas cilíndricas. --- ## Veamos algunas regiones cilíndricas. > Describa la región dentro de la esfera `\(x^2+y^2+z^2=4\)` y el cilindro `\(x^2+y^2=2.\)` --- # ¿Cómo cambia mi diferencial de volumen? > El diferencial de volumen cambia a `\(dV=r d\theta d r dz.\)` <div class="figure"> <img src="http://citadel.sjfc.edu/faculty/kgreen/vector/Block3/jacob/volume_cyl.gif" alt="Diferencial de área" width="40%" /> <p class="caption">Diferencial de área</p> </div> --- # Ejemplo: > Calcula la integral de `\(f(x,y,z)=x^2+y^2\)` en la región delimitada por el paraboloide `\(x^2+y^2=2z\)` y `\(z=2.\)` <br/><br/> Notemos que `\(x^2+y^2=r^2\)` y la ecuación del hiperboloide se reduce a `\(r^2=2z.\)` Por lo que la integral se traduce en `$$\int_0^{2\pi} \int_0^2\int_{r^2/2}^2 r^2 r dz dr d\theta= \int_0^{2\pi} \int_0^2\int_{r^2/2}^2 r^3 dz dr d\theta$$` `$$=\int_0^{2\pi} \int_0^2 r^3\left(2-\frac{r^2}{2}\right) dr d\theta = \int_0^{2\pi}\frac{r^4}{2}-\frac{r^6}{12}\big{|}_{0}^2 d\theta$$` `$$=\frac{8}{3}\int_0^{2\pi}d\theta = \frac{16\pi}{3}.$$` --- # Ejercicio: > Calcula el volumen de la región acotada por los paraboloides `\(x^2+y^2=4z\)` y `\(x^2+y^2=-2z+6\)` --- # Solución: > La región descrita es: `\(0\leq r\leq 2,\)` `\(0\leq \theta \leq 2\pi\)` y `\(\frac{r^2}{4}\leq r \leq \frac{6-r^2}{2}.\)` <br/><br/> Así mi integral está dada por: `$$\int_0^{2\pi}\int_0^2\int_{\frac{r^2}{4}}^{\frac{6-r^2}{2}}dzdrd\theta=\int_0^{2\pi}\int_0^2 \frac{12-r^2}{4} dr d\theta$$` `$$\int_0^{2\pi}3r-\frac{r^3}{12}\big{|}_0^2 d\theta =2\pi \left(6-\frac{8}{12}\right)=\frac{32\pi}{3}.$$` --- # Actividad: > Calcule las siguientes integrales en coordenadas esféricas: <br/><br/> * `\(f(x,y,z)=x^2+y^2\)` en la región acotado por el cono `\(z^2=x^2+y^2\)` y `\(z=2.\)` <br/><br/> * `\(f(x,y,z)=\sqrt{x^2+y^2}\)` en la región del cilindro `\(x^2+y^2=16\)` acotada por los plano `\(z=-5\)` y `\(z=4.\)` <br/><br/> * `\(f(x,y,z)=e^z\)` en la región acotada por el paraboloide `\(z=1+x^2+y^2,\)` el cilindro `\(x^2+y^2=5\)` y el plano `\(z=0.\)`