Coordenadas Esféricas

class: center, middle, inverse, title-slide

.title[
# Coordenadas Esféricas
]
.subtitle[
## Sesión 14
]
.author[
### Alejandro Ucan
]
.date[
### 2023-04-16
]

---

# Objetivos:

* Definir el sistema de coordenadas esféricas. <br/><br/>
 * Determinar el diferencial de volumen en coordenadas esféricas. <br/><br/>
 * Calcular integrales triples en coordenadas esféricas.

---
# Coordenadas Esféricas `\((\theta,r,z).\)`

---
# ¿Cómo traduzco entre coordenadas?

Existen expresiones que nos permiten hacer la conversión entre distintos tipos de coordenadas. Por ejemplo:

> Si tengo un punto `\((x,y,z)\)` (coordenadas rectangulares) y lo quiero en coordenadas _cilíndricas_, entonces se cumple: <br/>
- `\(r^2= x^2+y^2+z^2,\)` <br/>
- `\(\theta=\arccos\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\)` y <br/>
- `\(\phi=\arcsin\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}.\)`

<br/>

> Si tengo un punto `\((\theta,r,z)\)` y lo quiero en coordenadas _rectangulares_, entonces se cumple: <br/>
- `\(x=r\cdot \cos(\theta)\sin(\phi)\)` <br/>
- `\(y=r\cdot \sin(\theta)\sin(\phi)\)` y 
- `\(z=r\cos(\phi).\)`

---
## Veamos algunas regiones esféricas

> Describa la región en la figura en coordenadas esféricas.

![Región](regionesf_1.png)

---
## Veamos algunas regiones esféricas

> Describa la región acotada por el cono `\(z=\sqrt{x^2+y^2}\)` y la esfera `\(x^2+y^2+z^2=z\)` en coordenadas esféricas.

---
# ¿Cómo cambia mi diferencial de volumen?

> El diferencial de volumen cambia a `\(dV=r^2\sin(\phi) d\theta d\phi d r.\)`
<div class="figure">
<img src="https://files.mtstatic.com/site_4425/5231/0?Expires=1681674231&Signature=WX2~g~I1n1AtsjbMQHHP84KprFsUbI0k3ug3VGxr4AUcRonG76sC8pG1F8EOj~aOjGbt9FXn5rflvBa3iedukxQwy-fuM-~9Fn71JVZ-GTUkrqY2iO0buhgaOyfEVWYW~Z-uIQlxWqwMvb7LZcn6YGLxltC5RgqTGXd-91fMSYU_&Key-Pair-Id=APKAJ5Y6AV4GI7A555NA" alt="Diferencial de área" width="80%" />
<p class="caption">Diferencial de área</p>
</div>

---
# Ejemplo:

> Calcule la integral de `\(f(x,y,z)=9-x^2-y^2\)` en la región `\(R\)` dada por el hemisferio `\(z\geq 0\)` y `\(x^2+y^2+z^2\leq 9.\)`

---
# Ejemplo:

> Calcule la integral de la función `\(f(x,y,z)=z\)` en la región acotada por las esféras `\(x^2+y^2+z^2=1\)` y `\(x^2+y^2+z^2=4\)` en el primer octante.

---
# Ejemplo

> Calcule el valor de la integral de la función `\(f(x,y,z)=e^{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\)` en el octavo de la esfera `\(x^2+y^2+z^2=9\)` en el primer octante.