Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y Modelación

class: center, middle, inverse, title-slide

.title[
# Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y Modelación
]
.subtitle[
## Sesión 01
]
.author[
### Alejandro Ucan
]
.date[
### 2022-10-15
]

---

<div>
<style type="text/css">.xaringan-extra-logo {
width: 110px;
height: 128px;
z-index: 0;
background-image: url(https://github.com/alxcn/TecLogoEIC/blob/9562a53875418e749a296c85808a19c85fc4be74/IngenieriaCiencias_Horizontal_RGB.png);
background-size: contain;
background-repeat: no-repeat;
position: absolute;
top:2em;right:2em;
}
</style>
<script>(function () {
  let tries = 0
  function addLogo () {
    if (typeof slideshow === 'undefined') {
      tries += 1
      if (tries < 10) {
        setTimeout(addLogo, 100)
      }
    } else {
      document.querySelectorAll('.remark-slide-content:not(.title-slide):not(.inverse):not(.hide_logo)')
        .forEach(function (slide) {
          const logo = document.createElement('div')
          logo.classList = 'xaringan-extra-logo'
          logo.href = null
          slide.appendChild(logo)
        })
    }
  }
  document.addEventListener('DOMContentLoaded', addLogo)
})()</script>
</div>
# Objetivos de la Sesión

* Conocer la definición de EDO y sus clasificaciones. <br/><br/>
* Conocer el concepto de familia solución. <br/><br/>
* Aplicar el método de separación de variables. <br/><br/>
* Modelar mediante EDOS lineales de primer orden. <br/><br/>

---
# ¿Qué es una EDO?

> __Definición:__ Una _Ecuación Diferencial_ es una ecuación que contiene derivadas o funciones incognitas respecto a una o mas variables independientes. <br/><br/><br/>
Diremos que una ecuación diferencial es _ordinaria_ si las funciones derivada se consideran de una varibale, y _parciales_ si las funciones derivada son de varias variables.

__Ejemplos:__
  * `$\frac{dy}{dx}+5y=e^x,$` `$\frac{d^2y}{dx^2}-\frac{dy}{dx}+6y=0$` ó `$\frac{dx}{dt}+\frac{dy}{dt}=2x+y.$` <br/><br/>
  
  * `$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0$` `$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial u}{\partial x}.$`
  
---
## Clasificación de las EDO.

> Las EDO se pueden clasificar mediante:
  * El orden de la derivada: <br/><br/>
    * Primer orden: `$y'=y,$` o `$y'sin(x)=y.$` <br/>
    * Segundo, tercer, y así consecutivamente involucran derivadas de ese orden. <br/><br/>
  * Linealidad:
    * Lineal: la función `$y$` y sus derivadas se encuentran a la potencia 1, y los coeficientes solo dependen de `$x.$`  `$$y''+y'+6=0.$$`
    * No lineal: alguna función `$y$` o sus derivadas se encuentra a potencia mayor a 1, o los coeficientes pueden depender de `$x$` y `$y$` o sus derivadas. `$$(1-y)y'+2y=e^x,$$` `$$(y'')^3+sin(y)=0.$$`
    
---
## Solución de una EDO.

> __Definición:__ Decimos que `$f$` es una función definida en cierto intervalo `$I,$` con derivadas continuas en `$I$` (tantas derivadas como el orden de la ecuación) es una solución de una ecuación diferencial si cuando sustituimos la función obtenemos una identidad.

__Ejemplo:__ La función `$f(x)=e^x$` definida en `$\mathbb{R},$` es una solución de la EDO `$$y'-y=0.$$` Veamos, `$f'(x)=e^x$` y si `$y=f(x),$` entonces `$$y'-y=e^x-e^x=0.$$`

---
## Curva Solución

> __Definicón:__ la gráfica de una función solución a una EDO se conoce como curva solución, notemos que la curva solución puede diferir de la gráfica de la función dado que la curva solución __depende del intervalo de definición de la solución.__

__Ejemplo:__ Consideremos la ecuación `$xy'+y=0.$` La función `$y=f(x)=1/x$` es una solución, pero recordemos que `$f(x)$` no es diferenciable en `$x=0,$` por lo que debemos definir que intervalo tomaremos, si `$(-\infty,0)$` o `$(0,\infty).$`

---
### Soluciones implícitas.

> __Definición:__ A veces las EDO pueden satisfacerse por una relación `$G(x,y)$` (ecuación que involucra `$x$` y `$y$`), pero siempre con la premisa que hay una función que satisface esta relación que se comportará como la solución de la EDO.

__Ejemplo:__ La relación `$x^2+y^2=k^2$` es una solución de la ecuación `$yy'+x=0.$` Y las funciones asociadas son `$f(x)=\sqrt{k^2-x^2}$` y `$f(x)=-\sqrt{k^2-x^2}$` en sus respectivos intervalos de definición.

---
# Técnicas para resolver EDOs

> __Definición:__ Una EDO se dice que es una ecuación __separable__ o acepta __separación de variables__ si es de la forma `$$y'=g(x)h(y).$$`

__Ejemplo:__ Consideremos la EDO `$y'=1+e^{2x}.$` <br/><br/>

Notemos que si realizamos la antideravada `$$\int 1+e^{2x}dx=x+\frac{e^{2x}}{2}+c$$` es una solución para la ecuación diferencial para cada constante `$c.$`

---
## ¿Cómo utilizo el método?

> Si tenemos una EDO que es separable `$$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y).$$`
  * Separamos las variables `$y$` y `$x$` en un lado de la ecuación. `$$p(y)\frac{dy}{dx}=g(x),\quad\mbox{donde }p(y)=\frac{1}{h(y)}.$$`
  * Separamos nuestras diferenciales como si fuera una "fracción",
`$$p(y)dy=g(x)dx$$`
  * Integramos cada lado de la ecuación, `$$\int p(y)dy =\int g(x)dx.$$`
  * Las antiderivadas formaran una _relación_ que fungirá de solución.

---
### Ejemplo del método.

> Resuelva la EDO `$(1+x)\frac{dy}{dx}-y=0.$`

---
### Ejemplo del método.

> Resuelva la EDO `$\frac{dy}{dx}=e^{3x+2y}.$`

---
# Modelos Lineales: Crecimiento y Decaimiento

> En una rebanada de pan sabemos que se encuentran una comunidad de bacterias. Si sabemos que la razón de crecimiento de de esta comunidad es de 3/2 el número de la población. ¿Hay una función que describa la cantidad de bacterias en el tiempo determinado?

Cuando una _razón de cambio_ es __proporcional__ a la población obtenemos una EDO lineal dada por `$$\frac{dx}{dt}=kx$$` donde la población `$x(t)$` depende del tiempo `$t.$`

---
## Esta ecuación es separable.

Notemos que la EDO anterior es separable, y que todas las soluciones son similares, es decir, toda solución pertenece a la familia `$$x(t)=ce^{kt}.$$`

*Reto:* Utiliza separación de variables para resolver la ecuación modelo y llegar a la familia solución.

> Usualmente un problema de modelación nos da información necesaria para delimitar el problema, conocido como __condición inicial__. Esta información nos permite transformar nuestra EDO en algo conocido como __problema de valor inicial__.

---
## Problemas de valores iniciales y soluciones.

> __Definición:__ Un __problema de valor inicial__ se conforma de una EDO más una condición que debe satisfacer la solución.

#### Nota: la condición inicial permite que la solución que encontremos sea __única__, para la EDO y la condición inicial.

> En una rebanada de pan sabemos que se encuentran una comunidad de bacterias. Si sabemos que la razón de crecimiento de de esta comunidad es de 3/2 el número de la población. ¿Qué función modela la población de bacterias _si se sabe que al inicio de nuestra observación_ había __500 mil bacterias__?

---
### Problemas de Temperatura

#### Ley de Newton para el enfriamento/calentamiento.

> La razón de cambio de la temperatura que experimenta un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura de medio en el que se encuentra. $$ \frac{dT}{dt}=k(T-T_m).$$

__Ejemplo:__ La temperatura de unos chilaquiles Tec recien servidos es de `$90^\circ C.$` Si la temperatura en la cafetería es de `$22^\circ C.$` Si despues de 2 minutos la temperatura de mis chilaquiles es de `$80^\circ C.$` ¿Qué función modela la temperatura de mis chilaquiles?