EDO Lineales No homogéneas

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# EDO Lineales No homogéneas
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## Sesión 02
]
.author[
### Alejandro Ucan
]
.date[
### 2022-10-15
]

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# Objetivos de la Sesión

* Conocer la forma genérica de una EDO lineal <br/><br/>
* Aprender otras problematicas que modela una EDO lineal. <br/><br/>
* Resolver EDO lineales no homogéneas. <br/><br/>
* Aprender el método de variación de parámetros. <br/><br/>

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# EDO lineal.

> La forma genérica de una EDO lineal es `$$a_1(x)y'+a_0(x)y+g(x)=0,$$` donde `$a_0(x)$` y `$a_1(x)$` son los coeficientes. <br/><br/>
Si `$g(x)=0,$` entonces la EDO se dice __homogénea__, de lo contrario es __no homogénea.__

__Por ejemplo:__ `$xy'-4y-x^6e^x=0.$`

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## ¿Cómo es la solución de EDO lineal?

> Podemos escribir la ecuación generica como sigue `$$y'+P(x)y=f(x).$$` Queremos una solución en un intervalo `$I$` donde `$P(x)$` y `$f(x)$` sean funciones continuas. <br/><br/>
Si `$y_h$` es una solución a la versión homogénea de la EDO anterior y `$y_p$` es una solución particular de la ecuación. Entonces `$$y_h+y_p$$` es una solución de la ecuación no homogenea.

__Reto:__ comprueba esto de manera genérica.

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## Soluciones de EDO lineales no homogéneas.

> __Variación de Paramétros:__ la idea es encontrar una solución de la forma `$y_p=u(x)y_1(x)$` donde `$y_1$` es la solución de la versión homogénea de la EDO. <br/><br/>
Método:
  1. Escribir la EDO de la forma: `$$y'+P(x)y=f(x).$$`
  1. Identifica `$P(x)$` y calcula el _factor integrador_ `$$e^{\int P(x)dx}.$$`
  1. Multiplica en la EDO por el factor integrador. Esto modifica a la ecuación a la forma `$$\frac{d}{dx}\left[e^{\int P(x)dx} y\right]= e^{\int P(x)dx}f(x).$$` 
  1. Integra ambos lados y simplifica.

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### Ejemplo 1 (EDO lineal homogénea)

> Resuelva `$y'-3y=0.$`

1. Ya se encuentra en la forma estándar.

1. `$P(x)=-3,$` por lo que el factor integrador es `$$e^{\int -3dx}=e^{-3x}.$$`

1. Multiplicamos y nuestra ecuación se reduce a `$$\frac{d}{dx}\left[e^{-3x}y\right]=0.$$`

1. Integramos y despejamos: `$$e^{-3x}y=c\Rightarrow y=c e^{3x}.$$`

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### Ejemplo 2 (EDO lineal no homogénea)

> Resuelva la ecuación `$y'-2y=6.$`

1. Ya se encuentra en la forma estándar.

1. `$P(x)=-2,$` por lo que el factor integrador es `$$e^{\int -2dx}=e^{-2x}.$$`

1. Multiplicamos y nuestra ecuación se reduce a `$$\frac{d}{dx}\left[e^{-2x}y\right]=6e^{-2x}.$$`

1. Integramos y despejamos: `$$e^{-2x}y=-3e^{-2x}+c\Rightarrow y=-3+ce^{-2x}.$$`

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### Ejemplo 3 (No homogénea)

> Resuelva la ecuación `$y'-2xy=2.$`

Notemos que nuestro factor integrador es: `$$e^{\int -2xdx}=e^{-x^2}.$$` Esto implica que debemos integrar `$$\int 2e^{-x^2}.$$`

Esta integral no tiene solución explícita, pero se puede expresar como la integral definida `$$\int_0^x e^{-t^2}dt.$$` También denotada por `$\frac{1}{2}\sqrt{\pi} erf(x).$`

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# Caída No libre

> Consideremos un cuerpo que está cayendo pero el medio en donde cae presenta una resistencia (digamos el aire). Si la velocidad con la caé el cuerpo está dada por `$v(t)$` entonces satisface la EDO lineal no homogénea: `$$mv'+\beta v=mg,$$` dónde `$m$` es la masa del objeto, `$\beta$` es la constante de resistencia, y `$g$` es la fuerza de gravedad.

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## La solución de la caída no libre.

Usando __variación de parametros__ podemos resolver esta EDO, veamos.

1. `$P(x)=\beta/m,$` `$f(x)=g$` y factor integrador es: `$$e^{\frac{\beta t}{m}}.$$`

1. Multiplicando el factor y transformado la ecuación obtenemos: `$$\frac{d}{dt}\left[e^{\frac{\beta t}{m}}v\right]=ge^{\frac{\beta t}{m}}.$$`

1. Realizando la integral y simplicando obtenemos: `$$v(t)=\frac{mg}{\beta}+ce^{-\frac{\beta t}{m}}.$$`