class: center, middle, inverse, title-slide .title[ # Ecuaciones Líneales de orden superior ] .subtitle[ ## Sesión 03 ] .author[ ### Alejandro Ucan ] .date[ ### 2022-10-15 ] ---
# Objetivos de la Sesión * Conocer la forma genérica de una EDO lineal de orden superior. <br/><br/> * Conocer la forma genérica de un problema de valor inicial con una EDO lineal de orden superior. <br/><br/> * Aprender la solución para EDO's lineales de orden superior. <br/><br/> * Aplicar el método para resolver EDO's lineales de orden superior con coeficientes constantes. --- # EDO lineal de orden superior. > __Definción:__ La forma genérica de una EDO lineal de orden superior es: `$$a_n(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_2(x)y''+a_1(x)y'+a_0(x)y+g(x)=0.$$` Esta se convierte en un problema de valores iniciales cuando le agregamos las condiciones: `$$y(x_0)=y_0,\, y'(x_0)=y_1,\,y''(x_0)=y_2,\cdots,\,y^{(n-1)}(x_0)=y_{n-1}.$$` __Nota:__ necesitamos tantas condiciones como el orden de la EDO. --- # Ejemplo: > Supongamos que tenemos la EDO $$3y'''+5y''-y'+7y=0.$ La función `\(y=0\)` es una solución a la ED0. > Supongamos que tenemos la EDO $$y''-4y=12x$ con condiciones iniciales `\(y(0)=4\)` y `\(y'(0)=1.\)` La función `\(y=3e^{2x}+e^{-2x}-3x\)` es una solución de este problema de valores iniciales. --- # EDO's lineales de orden superior con coeficientes constantes. > Recordemos que para una EDO líneal homogenea `$$ay'+by=0$$` <br/><br/> * Posible solución es `\(y=e^{mx},\)` <br/><br/> * Sustituyendo en la EDO `$$ame^{mx}+be^{mx}=0=e^{mx}(am+b),$$` *cómo `\(e^{mx}\neq 0\)` entonces `$$am+b=0\Rightarrow m=-b/a.$$` Este prodecimiento lo podemos generalizar. --- # Ejemplo: > Supongamos que tenemos la EDO `$$ay''+by'+cy=0.$$` <br/> * Nuestro __polinomio auxiliar__ es: `$$am^2+bm+c=0.$$` <br/> * Aplicando la fórmula general tendremos que las raíces son `$$m_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$` <br/> * Esto implica que: * Las soluciones son reales diferentes `\(\Delta=b^2-4ac>0.\)` * Las soluciones son reales iguales `\(\Delta=0.\)` * Las soluciones son complejas conjugadas `\(\Delta<0.\)` --- ## Caso 1: Soluciones diferentes: > Cuando las raíces son reales y distintas, es decir, dos números `\(m_1\)` y `\(m_2,\)` entonces la solución general de la EDO es `$$y=c_1 e^{m_1 x}+c_2e^{m_2 x}.$$` __Ejemplo:__ Encuentra las soluciones de `\(2y''-5y'-3y=0,\)` <br/><br/> * Mi polinomio auxiliar es: `\(2m^2-5m-3=0\)` <br/> * Sus raíces son `\(m_1=-1/2\)` y `\(m_2=3\)` <br/> * La solución general `$$y=c_1e^{-x/2}+c_2e^{3x}.$$` --- ## Caso 2: Soluciones iguales > Cuando las raíces son reales pero iguales, es decir, `\(m_1=m_2=m,\)` entonces la solución general de la EDO es `$$y=c_1e^{mx}+c_2xe^{mx}.$$` __Ejemplo:__ Encuentra las soluciones de `\(y''-10y'+25y=0.\)` * Mi polinomio auxiliar es: `\(m^2-10m+25=0\)` <br/> * Su raíz es `\(m_1=m_2=5.\)` <br/> * La solución general `$$y=c_1e^{5x}+c_2xe^{5x}.$$` --- ## Caso 3: Soluciones Complejas conjugadas > Cuando las raíces son complejas conjugadas, es decir, `\(m_1=a+bi\)` y `\(m_2=a-bi,\)` entonces la solución general de la EDO es `$$y=c_1e^{ax}\cos(bx)+c_2e^{ax}\sin(bx).$$` __Ejemplo:__ Encuentra las soluciones de `\(y''+4y'+7y=0.\)` * Mi polinomio auxiliar es `\(m^2+4m+7=0\)` <br/> * Sus raíces son `\(m_1=-2+\sqrt{3}i\)` y `\(m_2=-2-\sqrt{3}i.\)` Por lo que `\(a=-2\)` y `\(b=\sqrt{3}.\)` <br/> * La solución general es `$$y=c_1e^{-2x}\cos(\sqrt{3}x)+c_2e^{-2x}\sin(\sqrt{3}x).$$` --- ### Un problema de valores iniciales. > Encuentren la solución a la EDO `\(4y''+4y'+17y=0\)` dados que `\(y(0)=-1\)` y `\(y'(0)=2.\)` --- # Modelando con EDOs lineales de orden superior: > Suongamos que tenemos un resorte suspendido verticalmente de un soporte rígido y que sostiene un peso de masa `\(m\)` en su punta libre. La cantidad de "estiramiento" depende de la masa que le pongamos. <br/><br/> * _Ley de Hooke:_ la fuerza de restablecimiento que ejerce el resorte es opuesta a la dirección de estiramiento y proporcional a esta cantidad, es decir: `$$F=-ks.$$` <br/> * _Segunda Ley de Newton_ `$$m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx.$$` --- # Gráfica <div class="figure"> <img src="vertspringmodel.jpg" alt="Vista gráfica del modelo." width="50%" /> <p class="caption">Vista gráfica del modelo.</p> </div> --- ## Solución general del modelo > Queremos encontrar la solución general de `$$m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx.$$` Notemos que esta ecuación es equivalente a `$$x''+\frac{k}{m}x=0.$$` > Mi polinomio auxiliar es `$$m^2+\frac{k}{m}=0$$` cuyas soluciones son `\(m_1=\sqrt{\frac{k}{m}}i\)` y `\(m_2=-\sqrt{\frac{k}{m}}i.\)` Por lo que mi solución general de la EDO es: `$$x(t)=c_1\cos\left(\frac{k}{m}t\right)+c_2\sin\left(\frac{k}{m}t\right).$$` --- ### Algunas componentes de la solución: * Al número `\(w=\sqrt{\frac{k}{m}}\)` se le conoce como _frecuencia circular._ * El período de la función solución es `$$T=\frac{2\pi}{w}.$$` * La frecuencia de la función es `$$f=1/T.$$` --- ### Ejemplo: > Una masa de peso `\(2lbs\)` estira un resorte de `\(6\)` pulgadas. Si en `\(t=0\)` la masa es liberada desde un punto `\(8\)` pulgadas por debajo del equilibrio con una velocidad de `\(4/3\)` pies/s. Determine la ecuación de movimiento. Realizando las conversiones adecuadas (pulgas en pies, y libras en unidades de masa), obtenemos que la ecuación diferencial es: `$$\frac{1}{16}x''+4x=0.$$` Con las condicions inciales de `\(x(0)=2/3\)` y `\(x'(0)=-4/3.\)` Por lo tanto `\(w^2=64\)` y `\(w=8,\)` así que la función de movimiento es: `$$x(t)=c_1\cos(8t)+c_2\sin(8t).$$` Sustituyendo las condiciones iniciales obtenemos que `\(c_1=2/3\)` y `\(c_2=-1/6.\)` --- ### Ejercicio: > Una masa que pesa 4 libras esta atada a un resorte cuya constante de Hooke es 16lb/ft. ¿Cuál es el período del movimiento armónico simple?