Sistemas de EDOs lineales P. II

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# Sistemas de EDOs lineales P. II
]
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## Sesión 07
]
.author[
### Alejandro Ucan
]
.date[
### 2022-10-15
]

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# Objetivos de la Sesión

* Utilizar vectores y valores propios para resolver Sistemas de EDOs. <br/><br/>
* Casos: valores propios distinto y valores propios repetidos. <br/><br/>
* El Wronksiano como test para independencia lineal.

---
# Condiciones en nuestro sistema.

> __Convención:__ En lo que sigue del tema consideraremos que nuestro sistema es de dos ecuaciones con dos funciones incognitas cuyas EDOs son lineales de coeficientes constantes. Esto se describe de la forma general `$$\begin{array}{c} x'= a_{11}x+a_{22}y+f_1(t) \\ y'=a_{21}x+a_{22}y+f_2(t) \end{array}$$`

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# Resolución de Sistemas de EDOs homogéneos.

> Dado nuestro sistema `$$X'=AX$$` consideremos la matriz `$A.$` Supongamos que `$(\lambda,v)$` formado por el valor propio de `$A$` y su vector propio asociado. Sea `$F=e^{\lambda t}v,$` el vector de funciones, entonces el vector `$F$` es un vector de soluciones del sistema.

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### Ejemplo:

> Considere el sistema: `$$X'=\left(\begin{array}{cc} 3 & 1 \\ 0 & -3 \end{array}\right) X$$` Compruebe que el par `$\left(3,(1,0)^t\right)$` es un par de valor y vector propio de `$A$` y construye la solución.

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### Ejemplo:

> Considere el sistema: `$$X'=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ -2 & -3 \end{array}\right) X$$` Compruebe que el par `$\left(-1,(-1,1)^t\right)$` es un par de valor y vector propio de `$A$` y construye la solución. Comprueba que también es solución `$-te^{-t}(1/2,0)^t.$`

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## Test de Independencia Lineal

> __Definición:__ Consideremos los vectores función solución `$X_1$` y `$X_2$` para un sistema de EDOs. El __wronksiano__ de las soluciones es el determinante de la matriz `$$\left(\begin{array}{cc} x_1 & x_2 \\ y_1  & y_2\end{array}\right)$$` y se denota por `$W(X_1,X_2).$`

<br/><br/>
> __Teorema [de Abel o Criterio del Wronksiano]:__ Las soluciones `$X_1$` y `$X_2$` son __linealmente independientes__ si `$$W(X_1,X_2)\neq 0.$$`

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### Ejemplo:

> Compruebe que para el sistema `$$X'=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ -2 & -3 \end{array}\right) X$$` las siguientes soluciones son linealmente independientes. `$$X_1=e^{-t}\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array}\right) \mbox{ y } X_2=t e^{-t}\left(\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 0 \end{array}\right).$$`

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## Método para obtener soluciones de un sistema.

> __Método de Vectores y Valores propios__: Para el sistema `$X'=AX.$` Realice
  1. Calcular los diferentes valores y vectores propios. 
      * Si son valores propios reales distintos entonces las soluciones son `$$X_1=e^{\lambda_1}v_1\mbox{ y } X_2=e^{\lambda_2}v_2.$$`
      * Sin son valores propios reales repetidos, entonces la soluciones son `$$X_1=e^{\lambda}v\mbox{ y }X_2=te^{\lambda}v_1$$` donde `$v_1$` es l.i de `$v.$`
  2. Comprobar con el Criterio del Wronksiano que realmente son soluciones l.i.
  3. Expresar la solución general como `$$X=c_1X_1+c_2X_2.$$`
  
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## Actividad en clase:

> Resuelva los siguientes sistemas de EDOs `$X'=AX$` donde `$A$` es la matriz: <br/><br/>
 * `$A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{array}\right).$` <br/><br/>
  * `$A=\left(\begin{array}{cc} -4 & 2 \\ -\frac{5}{2} & 2 \end{array}\right).$` <br/><br/>
  * `$A=\left(\begin{array}{cc} 10 & -5 \\ 8 & -12 \end{array}\right).$` <br/><br/>
  * `$A=\left(\begin{array}{cc} 3 & -1 \\ 9 & -3 \end{array}\right).$` <br/><br/>
  * `$A=\left(\begin{array}{cc} -1 & 3 \\ -3 & 5 \end{array}\right).$` <br/><br/>
  * `$A=\left(\begin{array}{cc} 2 & 4 \\ -1 & 6 \end{array}\right).$` <br/><br/>