Sistemas de EDOs lineales P. III

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# Sistemas de EDOs lineales P. III
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## Sesión 08
]
.author[
### Alejandro Ucan
]
.date[
### 2022-10-17
]

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# Objetivos de la Sesión

* Solución en el caso de valores propios repetidos. <br/><br/>
* Solución en el caso de valores propios complejos. <br/><br/>
* Planos fase. <br/><br/>
* Solución de Sistemas no homogéneos.

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# Valores propios repetidos.

> Considere el sistema: `$$X'=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ -2 & -3 \end{array}\right) X.$$` Queremos construir una solución general. El polinomio característico es: `$$\lambda^2-2\lambda +1=0,$$` así que el único valor propio es `$\lambda=1.$` Su vector propio es `$$(A+I)=\left(\begin{array}{cc} 2 & 2 \\ -2 & -2 \end{array}\right)\Rightarrow 2v_1+2v_2=0\Rightarrow v_2=-v_1.$$` <br/>
Para conseguir el otro vector para que nuestra solución general este completo, para esto  debemos resolver `$$(A-\lambda I)w=v.$$`

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## Continuación ejemplo

> Resolvamos para `$$(A+I)w=v\Rightarrow \left(\begin{array}{cc} 2 & 2 \\ -2 & -2 \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} w_1  \\ w_2 \end{array}\right) =\left(\begin{array}{c} 1  \\ -1 \end{array}\right),$$` que se reduce a la ecuación `$$2w_1+2w_2=1\Leftrightarrow 2w_1=1+2w_2.$$` Podemos tomar el valor `$w_2=0,$` y mi otro vector sería `$$\left(\begin{array}{c} 1/2 \\ 0 \end{array}\right)$$` Así mi solución general es `$$X=c_1e^{-t}\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array}\right)+c_2te^{-t}\left(\begin{array}{c} 1/2 \\ 0 \end{array}\right).$$`

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### Ejemplo 2:

> Considere el sistema: `$$X'=\left(\begin{array}{cc} 3 & -18 \\ 2 & -9 \end{array}\right)X.$$`

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# Valores propios complejos.

> Consideremos el sistema `$$X'= \left(\begin{array}{cc} 6 & -1 \\ 5 & 4 \end{array}\right) X.$$` <br/><br/> Su polinomio caracteristico es `$$\lambda^2-10\lambda+29=0\Rightarrow \lambda_1=5+2i\quad \lambda_2=5-2i.$$` <br/><br/> Sus vectores propios son `$$v_1=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1-2i \end{array}\right)\quad v_2=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1+2i \end{array}\right)$$`
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## Reescribiendo los vectores propios:

> Como queremos funciones reales, tenemos que reescribir los vectores de tal forma que sean reales. <br/><br/>
Sean `$$w_1=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right) \quad w_2=\left(\begin{array}{c} 0 \\ -2 \end{array}\right)$$` Así mi solución general será la combinación de las soluciones `$$X_1=(w_1\cos(2t)-w_2 \sin(2t))e^{t}$$` `$$X_2=(w_2\cos(2t)+w_1\sin(2t))e^t.$$`

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### Ejemplo 3:

> Considere el sistema: `$$X'=\left(\begin{array}{cc} -1 & 2 \\ -1 & 1 \end{array}\right)X.$$`

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# Planos Fase:

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# Sistemas no homogéneos

> Al igual que las ecuaciones lineales no homogéneas, la solución general de un sistema de EDOs no homogénea está formada por la solución general del sistema homogéneo y una solución particular.

### Ejemplo 3:

> Considere el sistema `$$X'= \left(\begin{array}{cc} 2 & 7 \\ -5 & -10 \end{array}\right) X+\left(\begin{array}{c} -8 \\ 3 \end{array}\right).$$` Primero encontremos la solución particular, como el vector que hace nuestro sistema no homogéneo es __constante__ podemos considerar que mi solución modelo es constante,

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### continuación:

Digamos `$$X_p=\left(\begin{array}{c} a_1 \\ b_1 \end{array}\right),$$` 
sustituyendo en mi sistema obtenemos
`$$0=2a_1+7b_1-8$$` `$$0=-5a_1-10b_1+3$$`

$$2a_1+7b_1=8 $$ `$$-5a_1-10b_1=3$$` cuya solución es `$$a_1=-\frac{101}{15}\mbox{ y }a_2=-\frac{46}{15}.$$`

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### Ejemplo 4:

> Considere el sistema `$$X'= \left(\begin{array}{cc} 6 & 1 \\ 4 & 3 \end{array}\right) X+\left(\begin{array}{c} 6t \\ -10t+4 \end{array}\right).$$`