Transformada de Laplace

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# Transformada de Laplace
]
.subtitle[
## Sesión 09
]
.author[
### Alejandro Ucan
]
.date[
### 2022-10-28
]

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# Objetivos de la Sesión

* Motivar la transformada de Laplace. <br/><br/>
* Definir la transformada de Laplace. <br/><br/>
* Calcular la transformada de Laplace.

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# Transformadas Integrales

### Motivación:

> La derivada y la anti-derivada son transformaciones de funciones, y se pueden pensar como transformaciones lineales.

> Podemos definir funciones a traves de integrales.

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### Motivación:

Problemas dificiles de resolver en su presentación original, que transformados pueden ser mas sencillos. La _tranformada integral_ mapea una ecuación en su "dominio" original en otro "dominio" de tal manera que la manipulación de la ecuación sea más sencilla que originalmente y la solución puede ser reconvertirse al dominio original.

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## Formalismo

> __Definición:__ una transformada integral es una mapeo `$T$` entre espacios de funciones dada por `$$T(f)(u)=\int_{t_1}^{t_2}f(t)K(t,u)dt,$$` la función `$K(t,u)$` se le conoce como __kernel__ o __núcleo__ de la transformación. <br/><br/> Es posible definir una transformada inversa: `$$T^{-1}(g)(t)=\int_{u_1}^{u_2} g(u)K^{-1}(t,u)du.$$` <br/><br/> A `$K(t,u)$` se le conoce como Kernel de la transformada.

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# La transformada de Laplace

> __Definición:__ la _transformada de Laplace_ definida para funciones `$f(t)$` con `$t\geq 0$` es la función `$F(s)$` definida por `$$F(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt=\lim_{b\to\infty}\int_0^b f(t)e^{-st}$$` donde `$s$` es un parametro. <br/><br/> La notación usual para la transformada de Laplace es `$\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s).$`

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### Ejemplo:

> Calcule las transformadas de Laplace de las funciones `$f(t)=1$` y `$f(t)=t.$`

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### Actividad en clase:

> Utilizando la definición de la transformada de Laplace, comprueba que se cumple: <br/><br/>
  * `$\mathcal{L}\{f\}=\frac{2}{s^3}$` para `$f(t)=t^2.$` <br/><br/>
  * `$\mathcal{L}\{f\}=\frac{1}{s-a}$` para `$f(t)=e^{at}.$` <br/><br/>
  * `$\mathcal{L}\{f\}=\frac{s}{s^2+b^2}$` para `$f(t)=\cos(bt).$` <br/><br/>
  
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### La ventaja

> La ventaja de la transformada de Laplace es que es un calculo que se hace una sola vez, y que existen fórmulas preescritas para que las utilicemos de manera directa.

<br/><br/>
> __Teorema:__ Se cumple que:
  * `$\mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s}.$`
  * `$\mathcal{L}\{t^n\}=\frac{n!}{s^{n+1}}.$`
  * `$\mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a}.$`
  * `$\mathcal{L}\{\sin(kt)\}=\frac{k}{s^2+k^2}.$`
  * `$\mathcal{L}\{\cos(kt)\}=\frac{s}{s^2+k^2}.$`

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## Propiedades de la Transformada de Laplace

> __Linealidad:__ Sean `$f$` y `$g$` dos funciones definidad en `$[0,\infty)$` tales que sus transformadas de Laplace existen, entonces se cumple `$$\mathcal{L}\{f+g\}=\mathcal{L}\{f\}+\mathcal{L}\{g\}.$$` Además, si `$c$` es una constante, `$$\mathcal{L}\{cf\}=c\mathcal{L}\{f\}.$$`

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### Ejemplo

> Utilizando la linealidad de la transformada de Laplace, calcula las transformadas de las siguientes funciones: <br/><br/>
  * `$f(t)=-5+3t+4t^2$`
  * `$f(t)=e^{t}+e^{-3t}$`
  * `$f(t)=-3t^3+\cos(4t).$`
  * `$f(t)=\frac{\sin(3t)-\cos(4t)}{5}$`