Aplicación de la Transformada de Laplace

class: center, middle, inverse, title-slide

.title[
# Aplicación de la Transformada de Laplace
]
.subtitle[
## Sesión 10
]
.author[
### Alejandro Ucan
]
.date[
### 2022-11-11
]

---

<div>
<style type="text/css">.xaringan-extra-logo {
width: 110px;
height: 128px;
z-index: 0;
background-image: url(https://github.com/alxcn/TecLogoEIC/blob/9562a53875418e749a296c85808a19c85fc4be74/IngenieriaCiencias_Horizontal_RGB.png);
background-size: contain;
background-repeat: no-repeat;
position: absolute;
top:2em;right:2em;
}
</style>
<script>(function () {
  let tries = 0
  function addLogo () {
    if (typeof slideshow === 'undefined') {
      tries += 1
      if (tries < 10) {
        setTimeout(addLogo, 100)
      }
    } else {
      document.querySelectorAll('.remark-slide-content:not(.title-slide):not(.inverse):not(.hide_logo)')
        .forEach(function (slide) {
          const logo = document.createElement('div')
          logo.classList = 'xaringan-extra-logo'
          logo.href = null
          slide.appendChild(logo)
        })
    }
  }
  document.addEventListener('DOMContentLoaded', addLogo)
})()</script>
</div>
# Objetivos de la Sesión

* Calcularemos transformadas de Laplace de funciones extremas. <br/><br/>
* Introduciremos la transformada de Laplace inversa. <br/><br/>
* Introduciremos la relación entre la Transformada de Laplace y la derivada de una función. <br/><br/>
* Aplicaremos la transformada de Laplace en la solución de EDOS.

---
# Transformadas de funciones Extremas:

> Utilizando la definición de la transformada de Laplace calcule la transformada de las siguientes funciones:
  * `$f(t)=-1$` si `$0\leq t \leq 1$` y `$f(t)=1$` si `$t>1.$`
  * `$f(t)=0$` si `$0\leq t\leq a$` y `$f(t)=t$` si `$t>a.$`
  * `$f(t)=1$` si `$a\leq t\leq b$` y `$f(t)=0$` de lo contrario.

---
# Transformadas de Laplace comunes:

La siguiente muestra una lista de transformadas de Laplace más comunes:

* `$\mathcal{L}\left\{t^n\right\}=\frac{n!}{s^{n+1}}$` 
  * `$\mathcal{L}\left\{e^{at}\right\}=\frac{1}{s-a}$`
  * `$\mathcal{L}\left\{\sin(kt)\right\}=\frac{k}{s^2+k^2}$`
  * `$\mathcal{L}\left\{\cos(kt)\right\}=\frac{s}{s^2+k^2}$`
  * `$\mathcal{L}\left\{\sinh(kt)\right\}=\frac{k}{s^2-k^2}$`
  * `$\mathcal{L}\left\{\cos(kt)\right\}=\frac{s}{s^2-k^2}$`
  
---
### Ejemplo:

> ¿Quién sería el la función de la que provienen las siguientes transformadas de Laplace? 
  * `$F(s)=\frac{1}{s^5}$`
  * `$F(s)=\frac{1}{s^2+7}$`
  * `$F(s)=\frac{s^2+6s+9}{(s-1)(s-2)(s+4)}$`
  
---
# Transformación de Derivadas:

> __Teorema:__ Si existe `$\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)$` entonces se cumple `$$\mathcal{L}\{f'(t)\}=sF(s)-f(0)$$` `$$\mathcal{L}\{f^(n)(t)\}=s^nF(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f'(0)-\cdots- f^{(n-1)}(0).$$`

### Ejemplo:

Encuentra la solución de la ecuación `$$y'+3y=13\sin(2t)\quad y(0)=6$$`

---
### Ejemplo:

Encuentre la solución a la ecuación `$$y''-3y'+2y=e^{-4t},\quad y(0)=1,\quad y'(0)=5.$$`

---
### Ejemplo:

Encuentre la solución a la ecuación `$$2y'''+3y''-3y'-2y=e^{-t},\, y(0)=0,\,y'(0)=0,\,y''(0)=1.$$`

---
# Actividad en clase

Calcula lo que se te pide:

* `$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^2}-\frac{1}{s}+\frac{1}{s-2}\right\}.$`
* `$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{5}{s^2+49}\right\}.$`
* `$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^2+s-20}\right\}.$`
* `$y'-y=1,\, y(0)=0.$`
* `$y'-y=2\cos(5t),\, y(0)=0$`
* `$y''+5y'+4y=0,\, y(0)=1,\, y'(0)=0.$`
* `$y''+y=\sqrt{2}\sin(\sqrt{2}t),\,y(0)=10,\, y'(0)=0.$`