1er Teorema de Traslación

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# 1er Teorema de Traslación
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## Sesión 11
]
.author[
### Alejandro Ucan
]
.date[
### 2022-11-11
]

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# Objetivos de la Sesión

* Introduciremos el 1er teorema de Traslación. <br/><br/>
* Aplicaremos el 1er teorema de traslación en el calculo de transformadas. <br/><br/>
* Aplicaremos este teorema a la solución de EDOs.
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# Motivación:
<br/><br/>

> Calcule la transformada de Laplace de la función `$f(t)=e^{5t}t^3.$`

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# 1er Teorema de Traslación

> __Teorema:__ Sea `$f(t)$` una función tal que `$\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)$` exista. Entonces se cumple que `$$\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}=F(s-a).$$`

<br/><br/>
> _Implicaciones del Teorema:_ ahora cada que veamos una función conocida "trasladada" por un factor exponencial, esto se traduce en la transformada como una traslación en la `$s.$`

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## Aplicando el teorema:

### Ejemplo (Calculo directo):
> Calcule las transformadas de Laplace de `$f(t)=e^{5t}t^3,$` `$f(t)=e^{-2t}\cos(4t)$` y `$f(t)=e^{-2t}$` si `$t>1$` y `$f(t)=0$` de lo contrario.

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### Ejemplo (Calculo de Inversas):

> Calcule la Transformada inversa como se te indica: 
`$$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2s+5}{(s-3)^2}\right\}$$`

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### Ejemplo (Calculo de Inversas):

> Calcule la Transformada inversa como se te indica:
`$$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s+5}{s^2+4s+6}\right\}$$`

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### Ejemplo (Solución de EDOs)

> Encuentre la solución de la EDO `$$y''-6y'+9y=t^2e^{3t},\quad y(0)=2,\quad y'(0)=17.$$`

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### Ejemplo (Solución de EDOs)

> Encuentre la solución de la EDO `$$y''+4y'+6y=1+e^{-t},\quad y(0)=0,\quad y'(0)=0.$$`

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# Actividad

> Utiliza el 1er teorema de traslación para encontrar la solución a las EDOs:
* `$y'+4y=e^{-4t},\, y(0)=2.$`
* `$y'-y=1+te^{t},\, y(0)=0.$`
* `$y''+2y'+y=0,\, y(0)=1,\, y'(0)=1.$`
* `$y''-4y'+4y=t^3e^{2t},\, y(0)=0,\, y'(0)=0.$`