2do Teorema de Traslación

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# 2do Teorema de Traslación
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## Sesión 12
]
.author[
### Alejandro Ucan
]
.date[
### 2022-11-22
]

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# Objetivos de la Sesión

* Introduciremos el 2do teorema de Traslación. <br/><br/>
* Aplicaremos el 2do teorema de traslación en el cálculo de transformadas. <br/><br/>
* Aplicaremos este teorema a la solución de EDOs.
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# Requisitos:
<br/><br/>

> La función paso unitario en `$a$` se denota como `$u_a(t)$` y se define como `$$u_a(t)=\left\{\begin{array}{cc} 0, & 0\leq t < a \\ 1, t\geq a \end{array} \right.$$`

<br/><br/>
¿Cómo afecta la función paso unitario a funciones?

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# 2do Teorema de Traslación

> __Teorema:__ Sea `$f(t)$` una función tal que `$\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)$` exista. Entonces se cumple que `$$\mathcal{L}\{f(t-a)u_a(t)\}=e^{-as}F(s).$$`

<br/><br/>
> _Implicaciones del Teorema:_ ahora cada que calculemos la transformada de una función trasladada esto se ve como un factor exponencial en su transformada original.

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## Aplicando el teorema:

### Ejemplo (Cálculo directo):

> Calcule las siguientes transformadas de Laplace: `$\mathcal{L}\{\cos(t)u_{\pi}(t)\}$` y `$\mathcal{L}\{(-3t^4+t^3)u_{3}(t)\}.$`

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### Ejemplo (Cálculo directo):

> Calcule las transformadas de Laplace inversa de `$F(s)=\frac{1}{s-4}e^{-2s},$` `$F(s)=\frac{s}{s^2+9}e^{-\pi s/2}.$`

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### Ejemplo (Cálculo Directo)

> Calcule la transfromada de Laplace Inversa de `$$F(s)=\frac{e^{-s}}{s(s^2-4)}.$$`

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### Ejemplo (Solución de EDOs):

> Encuentre la solución de `$$y'+y=f(t),\quad y(0)=0,\quad f(t)=\left\{\begin{array}{cc} 0, & 0\leq t < 1 \\ 5, & t\geq 1 \end{array}\right.$$`

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### Ejemplo (Solución de EDOs):

> Encuentre la solución de `$$y'+y=f(t),\quad y(0)=5,\quad f(t)=\left\{\begin{array}{cc} 0, & 0\leq t <\pi \\ 3\cos(t), & t\geq \pi \end{array}\right.$$`

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### Ejemplo (Solución de EDOs):

> Encuentre la solución de `$$y''+4y=sin(t)u_{2\pi}(t),\quad y(0)=1,\quad y'(0)=0.$$`

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## Actividad

> Encuentre la solución de `$$y''-5y'+6y=u_1(t),\quad y(0)=0,\quad y'(0)=1$$`