Sistemas de EDOs lineales

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# Sistemas de EDOs lineales
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## Sesión 06
]
.author[
### Alejandro Ucan
]
.date[
### 2022-10-15
]

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# Objetivos de la Sesión

* Conocer diferentes problematicas que involucran sistemas de EDOs. <br/><br/>
* Conocer la forma matricial de un sistema de EDOs. <br/><br/>
* Estudiar la solución (vector de funciones) de un sistema.

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# Recordando:

> Recordemos que si tenemos una población `$P(t),$` su crecimiento puede ser modelado mediante la ecuación diferencial `$$\frac{dP}{dt}=kP,$$` <br/><br/> de igual manera podemos considerar la presencia de una fracción de inmigrantes (por el momento constante) `$$\frac{dP}{dt}=kP-r.$$` <br/><br/>
Realmente sabemos que la población que inmigra no es constante en el tiempo, así que el modelo anterior no es tan real.

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# Un modelo más real

> Nuestro modelo sería más realista si `$R(t)$` define la población de inmigrantes en el tiempo `$t,$` `$$\frac{dP}{dt}=kP-R,$$` y si además tenemos información del crecimiento de la población inmigrante, por ejemplo `$$\frac{dR}{dt}=sR.$$` <br/><br/> 
Entonces el modelo sería `$$\frac{dP}{dt}=kP-R,$$` `$$\frac{dR}{dt}=sR.$$`

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# Sistema de EDOs lineales

> Un sistema de ecuaciones diferenciales es un par de EDOs que involucran dos funciones variables, de la forma general `$$\frac{dx}{dt}=g_1(t,x,y)$$` `$$\frac{dy}{dt}=g_2(t,x,y)$$` y si pedimos que sean lineales las ecuaciones entonces `$$g_1(t,x,y)=c_1x+c_2y+f_1(t)$$` `$$g_2(t,x,y)=k_1 x+k_2y+f_2(t).$$`

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# Sistema Predador-Presa

> Supongamos que tenemos dos especies que interactuan en un ecosistemas `$x(t)$` y `$y(t),$` de donde `$x(t)$` es extrictamente vegetariana y `$y(t)$` carnivora (consume a `$x(t)$`) entonces `$$\frac{dy}{dt}=-ay+bxy$$` `$$\frac{dx}{dt}=cx-dxy.$$` Este modelo se conoce como el __Lotka-Volterra para predador-presa.__

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# ¿Cómo se ve?

<div class="figure">
<img src="https://strimas.com/post/2017-10-13-lotka-volterra/index_files/figure-html/time-plot-1.png" alt="Ejempo de Soluciónes" width="60%" />
<p class="caption">Ejempo de Soluciónes</p>
</div>
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# Sistema de EDOs lineales

> Consideremos el siguiente sistema de EDOS lineales de `$n$` ecuaciones con `$n$` incognitas: $$ \begin{array}{ccc} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 +\cdots + a_{1n} x_n +f_1(t)&=& x'_1 \\ a_{12} x_1 + b_{22} x_2 +\cdots + a_{2n} x_n +f_2(t) &=& x'_2 \\ \vdots & = & \vdots \\ a_{n1} x_1 + a_{n2} x_2 +\cdots + a_{nn} x_n +f_n(t)&=& x'_n \\ \end{array}$$

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## Versión matricial

> La expresión anterior se puede expresar de forma matricial:

`$$\left(\begin{array}{c} x'_1 \\ x'_2 \\ \vdots \\ x'_n \end{array}\right) =\left(\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots  \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right)+ \left(\begin{array}{c} f_1(t) \\ f_2(t) \\ \vdots \\ f_n(t) \end{array}\right)$$`
$$ X' = A X+F$$

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# ¿Cómo se ve la solución?

> La solución de un sistema es un vector `$$X=\left(\begin{array}{c} x_1(t) \\ x_2(t) \\ \vdots \\ x_n(t) \end{array}\right)$$` que satisface las ecuaciones anteriores.

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# Ejemplo

> Verifique que el siguiente vector `$$\left(\begin{array}{c} e^{-2t} \\ -e^{-2t}  \end{array}\right)$$` es resultado del sistema `$$X'=\left(\begin{array} 1 & 3 \\ 5 & 3 \end{array}\right) X$$` y también `$$\left(\begin{array}{c} 3e^{6t} \\ 5e^{6t}  \end{array}\right)$$`

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# Superposición e Independencia Lineal

> En un sistema de EDOs homogéneas, si `$X_1$` y `$X_2$` son soluciones, para cualquier número reales `$c_1$` y `$c_2,$` entonces `$$c_1 X_1 + c_2 X_2$$` también es solución. <br/><br/> 
__Definición:__ decimos que las soluciones `$X_1, \, X_2,\, \cdots,\, X_n$` son __linealmente indepentiendes__ si la unica combinación `$$c_1 X_1+c_2 X_2+\cdots + c_n X_n=0$$` entonces `$c_1=c_2=\cdots=c_n=0.$`

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## Ejemplo:

> En el ejemplo anterior, los vectores solución `$$X_1=\left(\begin{array}{c} e^{-2t} \\ -e^{-2t}  \end{array}\right)\quad \mbox{y} \quad \left(\begin{array}{c} 3e^{6t} \\ 5e^{6t}  \end{array}\right)$$` son linealmente independientes.

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## Actividad:

> Compruebe que las funciones vectores `$$X_1=\left(\begin{array}{c} \cos(t) \\ \frac{-\cos(t)}{2}+\frac{\sin(t)}{2}\\ -\cos(t)-\sin(t) \end{array}\right) \mbox{ y } \left(\begin{array}{c} 0 \\ e^t \\ 0  \end{array}\right)$$` es un conjunto solución linealmente independiente para el sistema `$$X'=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & -1\end{array}\right) X$$`