Álgebra y Geometría de Vectores

class: center, middle, inverse, title-slide

.title[
# Álgebra y Geometría de Vectores
]
.subtitle[
## Sesión 1
]
.author[
### Alejandro Ucan
]
.date[
### 2023-07-26
]

---

<div>
<style type="text/css">.xaringan-extra-logo {
width: 110px;
height: 128px;
z-index: 0;
background-image: url(https://github.com/alxcn/TecLogoEIC/blob/9562a53875418e749a296c85808a19c85fc4be74/IngenieriaCiencias_Horizontal_RGB.png);
background-size: contain;
background-repeat: no-repeat;
position: absolute;
top:2em;right:2em;
}
</style>
<script>(function () {
  let tries = 0
  function addLogo () {
    if (typeof slideshow === 'undefined') {
      tries += 1
      if (tries < 10) {
        setTimeout(addLogo, 100)
      }
    } else {
      document.querySelectorAll('.remark-slide-content:not(.title-slide):not(.inverse):not(.hide_logo)')
        .forEach(function (slide) {
          const logo = document.createElement('div')
          logo.classList = 'xaringan-extra-logo'
          logo.href = null
          slide.appendChild(logo)
        })
    }
  }
  document.addEventListener('DOMContentLoaded', addLogo)
})()</script>
</div>

# Objetivos de la Sesión

* `$\mathbb{R}^3$` como espacio vectorial. <br/><br/>
* Subespacios particulares. <br/><br/>
* Curvas y superficies. <br/><br/>
---
# Estructura de Espacio vectorial

Consideremos `$$\mathbb{R}^3=\{\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3): x_j\in \mathbb{R}\}$$` con las siguientes propiedades:
   1. `$\mathbf{x}+\mathbf{y}=(x_1,x_2,x_3)+(y_1,y_2,y_3)=(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3)$`.
   2. Si `$c\in\mathbb{R},$` entonces `$c\mathbf{x}=c(x_1,x_2,x_3)=(cx_1,cx_2,cx_3).$`
   3. `$c(\mathbf{x}+\mathbf{y})=c\mathbf{x}+c\mathbf{y}.$`
   4. `$(c+d)\mathbf{x}=c\mathbf{x}+d\mathbf{x}.$`
   5. `$\mathbf{x}+\mathbf{y}=\mathbf{y}+\mathbf{x}.$`

---
# Geometría Vectorial de `$\mathbb{R}^3.$`

---
# Rectas (Ecuación Vectorial)

> __Definición:__ Dado un vector `$\mathbf{v}\in\mathbb{R}^3$` y un punto `$p\in\mathbb{R}^3,$` la recta que pasa por el punto `$p$` en dirección de `$\mathbf{v}$` está dada por `$$p+t\mathbf{v}$$` donde `$t\in \mathbb{R}.$`

---
# Planos (Ecuación Vectorial)
> __Definición:__ Dados dos vectores `$\mathbf{v},\mathbf{u}\in\mathbb{R}^3$` y un punto `$p\in\mathbb{R}^3,$` el plano que pasa por el punto `$p$` y se extiende en las direcciones de `$\mathbf{v}$` y `$\mathbf{w}$` está dada por `$$p+t\mathbf{v}+s\mathbf{u}$$` donde `$s,t\in\mathbb{R}.$`
---
# Curvas

> __Definición:__ Una _curva_ en `$\mathbb{R}^3$` es una función definida de un intervao `$[a,b]$` hacía `$\mathbb{R}^3.$`

##### Ejemplo:

Las rectas son curvas cuyo intervalo de definición es todo el espacio `$\mathbb{R}.$` <br/><br/>

La función `$c(t)=(\cos(t),\sin(t))$` con `$t\in[0,2\pi)$` representa el circulo unitario en dirección anti-horario.

---
# Superficies

> __Definición:__ Una _superficie_ en `$\mathbb{R}^3$` es una función definida de una caja `$[a,b]\times [c,d]$` hacía `$\mathbb{R}^3.$`

#### Ejemplo:

El plano es una superficies y también `$$s(u,v)=(\cos(u)\cos(v),\cos(u)\sin(v),\sin(u)$$` con `$(u,v)\in[0,2\pi)\times[0,\pi]$` que corresponde a una semiesféra.

---
# Parametrización

> __Definición:__ Una _parametrización_ de una curva o superficie es una función que toma un intervalo o caja y lo mapea hacía la curva o superficie. En este curso, las parametrizaciones serán funciones continuas y diferenciables, y pueden ser funciones a trozos.
<br/><br/>
##### Ejemplo
1. La parametrización de una hélice es `$$h(t)=(\cos(t),\sin(t),t)$$` con `$t\in\mathbb{R}.$` <br/><br/>
1. La parametrización de un segmento de recta entre `$p$` y `$q$` es `$$s(t)=p+t(q-p)$$` con `$t\in[0,1].$`

***
---
## Ejemplo de parametrizaciones de Superficies:

1. La parametrización de un helicoide es `$$h(u,v)=(u\cos(v),u\sin(v),v)$$` con `$(u,v)\in\mathbb{R}\times[0,2\pi).$` <br/><br/>
1. La parametrización de un toroide es `$$t(u,v)=((2+\cos(v))\cos(u),(2+\cos(v))\sin(u),\sin(v))$$` con `$(u,v)\in[0,2\pi)\times[0,2\pi).$` <br/><br/>
1. La parametrización de una esfera es `$$s(u,v)=(\cos(u)\cos(v),\cos(u)\sin(v),\sin(u)$$` con `$(u,v)\in[0,2\pi)\times[0,\pi].$` <br/><br/>

---
# Componentes de un vectorial

> Un __vector__ se define como una cantidad que tiene una magnitud y una dirección, para `$\mathbb{x}\in\mathbb{R}^3:$`
  1. _Magnitud:_ la norma o magnitud del vector `$\mathbf{x}$` se define por la cantidad `$$|\mathbf{x}|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}.$$`
  2. _Dirección:_ la dirección del vector `$\mathbf{x}$` es aquella que tomamos cuando nos movemos del origen `$\mathbf{o}=(0,0,0)$` hacía `$\mathbf{x}.$`

---
# Actividad

* Si los vectores `$\mathbf{u}=(1,2,3)$` y `$\mathbf{v}=(2,1,3),$` calcule los `$2\mathbf{u},\, 5\mathbf{u}-\frac{1}{2}\mathbf{v}$` y `$\mathbf{u}+2\mathbf{v}-2\mathbf{u}.$` <br/><br/>
* Pruebe que en cualquier triángulo, las medianas se intersectan a un punto que es dos tercios del camino desde cada vértice hacía el punto medio del lado opuesto. <br/><br/>
* Pruebe que en cualquier triángulo, las bisectrices se intersectan a un punto que es equidistante de los lados del triángulo. <br/><br/>
* Parametrice la curva `$x=\left(\frac{6+y}{3}\right)^2$`
* Parametrice la superficie `$1+z^2-x^2-y^2=0$` sobre el rectángulo `$[-1,1]\times[-3,3].$`