Productos y Aplicaciones

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.title[
# Productos y Aplicaciones
]
.subtitle[
## Sesión 02
]
.author[
### Alejandro Ucan
]
.date[
### 2023-08-05
]

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# Objetivos:

* Introducir los diferentes productos de vectores. 
 * Conocer las propiedades de productos de vectores. 
 * Aplicaciones de los productos de vectores.

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# Producto Escalar

> __Definición:__ Sean `$\mathbf{v},\mathbf{w}\in\mathbb{R}^3,$` el _producto escalar_ de estos vectores se define como `$$\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}=\langle \mathbf{v},\mathbf{w}\rangle = v_1w_1+ v_2w_2+v_3w_3.$$`

##### Ejemplo:
 `$$(1,2,3)\cdot (-3,1,1)=\langle (1,2,3),(-3,1,1)\rangle = (1)(-3)+(2)(1)+(3)(1)=2.$$`

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## Propiedades del Producto Escalar

* _Conmutativo:_ `$$\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}=\mathbf{w}\cdot\mathbf{v}.$$` 
 
 * _Magnitud:_ `$$|\mathbf{v}|^2=\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}.$$` 
 
 * _Distributiva:_ `$$(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)\cdot\mathbf{w}=\mathbf{v}_1\cdot \mathbf{w}+\mathbf{v}_2\cdot \mathbf{w}.$$`

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## Geometría del Producto Escalar

> __Definición:__ Sean `$\mathbf{v},\mathbf{w}\in\mathbb{R}^3,$` el _ángulo_ `$\theta$` entre estos vectores se define como el valor que satisface `$$\langle \mathbf{v},\mathbf{w}\rangle=|\mathbf{v}| |\mathbf{w}|\cos(\theta).$$`

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# Producto Vectorial
 
 > __Definición:__ Sean `$\mathbf{v},\mathbf{w}\in\mathbb{R}^3,$` el _producto vectorial_ de estos vectores se define como el vector `$$\mathbf{v}\times \mathbf{w}=\det \left(\begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3\end{array}\right).$$`

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## Propiedades del Producto Vectorial

1. _Anticonmutatividad:_ `$$\mathbf{v}\times\mathbf{w}=-\mathbf{w}\times\mathbf{v}.$$` 
 2. _Paralelismo:_ si `$\mathbf{v}$` y `$\mathbf{w}$` son paralelos, entonces `$$\mathbf{v}\times\mathbf{w}=\mathbf{o}.$$`
 3. _Perdedicularidad:_ `$\mathbf{v}\times\mathbf{w}$` es perpendicular a `$\mathbf{v}$` y `$\mathbf{w},$` `$$(\mathbf{v}\times \mathbf{w})\cdot \mathbf{v}=0.$$`
 4. _Distributiva:_ `$$(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)\times\mathbf{w}=\mathbf{v}_1\times \mathbf{w}+\mathbf{v}_2\times \mathbf{w}.$$`
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## Geometría del Producto Vectorial

> __Definición:__ Dado un plano `$L$` en `$\mathbb{R}^3,$` el _vector normal_ es el producto vectorial de cualquiera de dos de sus elementos normalizado, es decir, si `$\mathbf{v},\mathbf{w}\in L,$` entonces `$$\mathbf{n}_L=\frac{\mathbf{v}\times\mathbf{w}}{|\mathbf{v}\times\mathbf{w}|}.$$`

> __Definición:__ Si `$S$` es una superficie paramétrica, el _vector normal_ es el producto vectorial de los vectores tangentes `$\mathbf{r}_u$` y `$\mathbf{r}_v,$` es decir, `$\mathbf{n}_S=\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v$` donde `$r(u,v)$` es la parametrización de `$S.$`

##### Nota: 
El vector normal nos permite determinar la "orientación" de la superficie, sabiendo que es el anverso y reverso.

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# Trabajo

> Supongamos que una partícula `$p$` se desplaza sobre una curva `$c(t)$` con `$t\in[a,b]$` y conocemos una fuerza `$\mathbf{F}$` que afecta el desplazamiento de `$p$` en cada punto de `$c(t).$` El _trabajo_ realizado por `$\mathbf{F}$` del punto `$t_1$` al `$t_2$` está dado por `$$\mathbf{F}\cdot (c(t_2)-c(t_1)).$$` Suponiendo que queremos conocer el trabajo instantaneo, entonces `$$\mathbf{F}\cdot c'(t),$$` donde `$c'(t)$` es el vector tangente a la curva `$c.$`

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# Torque

> Supongamos que una partícula `$p$` es afectada por una fuerza `$\mathbf{F},$` y queremos que tanto la desplaza. Si `$\mathbf{r}$` es el vector de posición de `$p$` y `$\mathbf{F}$` es la fuerza, entonces el _torque_ de `$\mathbf{F}$` sobre `$p$` está dado por `$$\mathbf{r}\times \mathbf{F}.$$`

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# Velocidad Angular

> Supongamos que una partícula se desplaza sobre un cuerpo rígido con una velocidad angular `$\mathbf{\omega}$` y queremos conocer la velocidad lineal de un punto `$p$` sobre el cuerpo. Si `$\mathbf{r}$` es el vector de posición de `$p,$` entonces la velocidad de `$p$` está dada por `$$\mathbf{\omega}\times \mathbf{r}.$$`

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## Triple Producto Escalar

> __Definición:__ Sean `$\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\in\mathbb{R}^3,$` el _triple producto escalar_ de estos vectores se define como `$$\mathbf{u}\cdot (\mathbf{v}\times \mathbf{w}).$$` Y el valor absoluto de esta cantidad coincide con el volumen del paralelepípedo generado por `$\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}.$`

__Sketch:__

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## Triple Producto Vectorial

> __Definición:__ Sean `$\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\in\mathbb{R}^3,$` el _triple producto vectorial_ de estos vectores se define como `$$\mathbf{u}\times (\mathbf{v}\times \mathbf{w}).$$`

__Afirmación:__ `$$\mathbf{u}\times (\mathbf{v}\times \mathbf{w})=(\mathbf{u}\cdot \mathbf{w})\mathbf{v}-(\mathbf{u}\cdot \mathbf{v})\mathbf{w}.$$`

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### Torque y Momento Angular como triples productos

> __Definición:__ El torque de un vector `$\mathbf{F}$` sobre una partícula `$p$` con vector de posición `$\mathbf{r}$` relativo a una dirección `$\mathbf{n}$` está dado por `$$\mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}\times \mathbf{F}).$$`

> __Definición:__ El momento angular de una partícula con posición `$\mathbf{r}$` y velocidad angular `$\mathbf{\omega}$` está dado por `$$m\mathbf{r}\times \mathbf{\omega}\times \mathbf{r},$$` donde `$m$` es la masa de la partícula.

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# Actividad

1. Calcula el volumen del paralelepípedo formado por los vectores `$\mathbf{o},\,\mathbf{v}=(1,0,1),\, \mathbf{w}=(0,1,0)$` y `$\mathbf{v}+\mathbf{w}.$`

2. Calcula el vector normal a la semiesfera superior de radio `$r$` centrada en el origen.

3. Prueba que si `$p$` es un punto que no está en la recta `$L$` que pasa por los puntos `$q$` y `$r.$` Entonces la distancia de `$p$` a la recta está dada por `$$\frac{|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|}{|\mathbf{a}|}$$` donde `$\mathbf{a}=\vec{qr}$` y `$\mathbf{b}=\vec{qp}.$`

4. Si `$\mathbf{r}=(x,y,z),\,\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3)$` y `$\mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3).$` Demuestre que los vectores que satisfacen `$(\mathbf{r}-\mathbf{a})\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{b})=0$` están en una esfera. ¿Qué radio y centro tiene?