Introducción al Análisis Vectorial

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# Introducción al Análisis Vectorial
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## Sesión 03
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.author[
### Alejandro Ucan
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.date[
### 2023-08-05
]

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# Objetivos:

* Introducir los campos vectoriales y sus gráficas. 
 * Calcular límites en campos vectoriales. 
 * Conocer las razones de cambio a través de un campo vectorial.

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# Campos vectoriales

> __Definición:__ Una _función vectorial_ es una función que asigna a cada vector de un conjunto `$A\subset \mathbb{R}^n$` un vector de `$\mathbb{R}^m.$` En símbolos, `$$f:A\subset \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m.$$` Si `$m=1$` decimos que la función es un _campo escalar_ y si `$m>1$` decimos que la función es un _campo vectorial_.

#### Ejemplos:

1. `$f(x,y)=x^2+y^2+2$` es un campo escalar. 
2. `$f(x,y)=(x^2+y^2+2,x+y)$` es un campo vectorial.
3. Los grafos de direcciónes de viento o corrientes oceanicas.

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## Gráfica de un campo vectorial

> La gráfica de un campo vectorial `$f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$` es el conjunto de todos los vectores `$(\vec{x},f(\vec{x}))$` en `$\mathbb{R}^{n+m}.$` Si bien es complicado realizar un bosquejo de esta, usualmente lo que hacemos en espacios de dimensión `$2$` o `$3$` es realizar un bosquejo de los vectores `$f(\vec{x})$` en cada punto `$\vec{x}$` del dominio.

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# Límites

> Sea `$f:\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}^n$` una función (con `$n=1,2,3$`). Decimos que la función `$f$` tiende a `$\vec{L}$` cuando `$\vec{x}$` tiende a `$\vec{x}_0$` si sucede que para cada _entorno_ `$U$` de `$\vec{L}$` existe un _entorno_ `$V$` de `$\vec{x_0}$` tal que `$$f(V)\subset U.$$` 
En símbolos escribimos, `$$\lim_{\vec{x}\to \vec{x}_0}f(\vec{x})=\vec{L}.$$`

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# Ejemplo:

Por ejemplo, si consideramos el campo vectorial `$f(x,y)=(x+y+2,x+y)$` y queremos calcular el límite de `$f$` cuando `$(x,y)$` tiende a `$(0,0).$` Para esto, consideremos un entorno `$U$` de `$(2,0)$`, por ejemplo, `$U=B((2,0),1)$` (o séa, la bola de radio `$1$` centrada en `$(2,0)$`). Entonces, si queremos que `$f(V)\subset U$` para algún entorno `$V$` de `$(0,0)$`, entonces necesitamos que `$f(V)$` esté contenido en `$U.$`

Para esto, `$|f(x,y)-(2,0)|<1,$` esto implica que `$$\sqrt{(x+y+2-2)^2+(x+y-0)^2}<1.$$` Lo que es equivalente a `$$\sqrt{2}|x+y|<1.$$` Entonces, si consideramos `$V=B((0,0),1/2\sqrt{2})$`, entonces `$f(V)\subset U.$`

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# Continuidad en Campos vectoriales

> __Definición:__ Sea `$f:A\subset \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$` un campo vectorial. Diremos que `$f$` es _continua_ si para todo `$\vec{x}_0\in A$` se cumple que `$$\lim_{\vec{x}\to \vec{x}_0}f(\vec{x})=f(\vec{x}_0).$$`

##### Nota:

Para fines prácticos, la continuidad de un campo vectorial está dada a través de la continuidad de sus funciones componente. Si estas funciones componente son continuas, entonces el campo vectorial total es continuo.
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# Ejemplo:

- La función `$f(x,y)=(3x+2,2y-3)$` es continua en todo `$\mathbb{R}^2.$` 
- La función `$f(x,y)=(\sin(x),\cos(y))$` es continua para todo vector de `$\mathbb{R}^2.$`

- La función `$f(x,y,z)=\left(\frac{1}{x+y},z,3x+2z\right)$` es continua para todo vector de `$\mathbb{R}^3$` excepto para aquellos donde `$x+y=0.$` 
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# Campo Gradiente

> __Definición:__ Dada una función escalar `$f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R},$` podemos definir un campo vectorial asociado a `$f$` conocido como _campo gradiente_ definida como las razones de cambio de la función `$f$` en todas las direcciones estándares `$$\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1},\frac{\partial f}{\partial x_2},\cdots,\frac{\partial f}{\partial x_n}\right).$$`

#### Ejemplo:

Si `$f(x,y,z)=\sqrt{x^2+y^2+z^2},$` entonces el campo gradiente asociado es `$$\nabla f= \left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\right).$$`

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## Derivadas Direccionales

> Supongamos que `$f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$` es una función y `$p$` es una partícula que recorre una curva `$c:[a,b]\to\mathbb{R}^n$` en el espacio. La _derivada direccional_ de `$f$` en la dirección de `$c$` en el punto `$t$` es `$$\frac{d}{dt}f(c(t))=\lim_{h\to 0}\frac{f(c(t+h))-f(c(t))}{h}.$$`

##### Nota:
La derivada direccional nos permite conocer la razón de cambio de una partícula cuando recorre un camino en particular.

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#### Ejemplo:

> Un insecto se halla en un medio tóxico, y los niveles de toxicidad se distribuyen mediante la función `$$f(x,y)=\frac{1}{x^2+y^2+1}.$$` Si el insecto se encuentra en el punto `$(1,1)$` y se mueve en la dirección del vector `$v=(1,1)$`, ¿cuál es la razón de cambio de la toxicidad en el punto `$(1,1)$`?

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## Aplicaciones del Campo Gradiente.

> __Proposición:__ Sea `$f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$` y `$c:[0,1]\to\mathbb{R}^n$` una curva. La derivada direccional de `$f$` en la dirección `$c'(t)$` en el tiempo `$t$` está dada por `$$\nabla f(c(t))\cdot \frac{c'(t)}{|c'(t)|}.$$`

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# Actividad

1. Pruebe que la definición de derivada direcciónal no depende de la curva. Es decir, si `$c_1$` y `$c_2$` son dos curvas que pasan por el punto `$p$` y tienen la misma dirección en `$p$`, entonces las derivadas direccional coinciden. 
2. Si la razón de cambio total en una dirección es el valor absoluto de la derivada direccional. Pruebe que el vector gradiente de una función `$f$` en `$p$` es el vector unitario que maximiza la razón de cambio total de `$f$` en `$p.$`