Divergencia y Rotacional

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# Divergencia y Rotacional
]
.subtitle[
## Sesión 04
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.author[
### Alejandro Ucan
]
.date[
### 2023-08-05
]

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# Objetivos:

* Conocer la interpretación de nabla como un operador lineal. 
 * Conocer la definición de divergencia y rotacional de un campo vectorial. 
 * Interpretar la divergencia y rotacional de un campo vectorial.

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# Operador Nabla

> __Definición:__ El _operador nabla_ denotado por `$\nabla$` y definido por `$$\nabla=\partial_x\mathbf{i}+\partial_y\mathbf{j}+\partial_z\mathbf{k}$$` es un operador diferencial vectorial que actúa sobre un campo escalar o vectorial.

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# Divergencia

> __Definición:__ La _divergencia_ de un campo vectorial `$\mathbf{F}$`, denotada por `$\nabla\cdot\mathbf{F}$`, es la función escalar definida por `$$\nabla\cdot\mathbf{F}=\partial_xF_x+\partial_yF_y+\partial_zF_z$$`

#### Ejemplo

1. Si `$\mathbf{F}(x,y,z)=x^2\mathbf{i}+y^2\mathbf{j}+z^2\mathbf{k}$`, entonces `$\nabla\cdot\mathbf{F}=2x+2y+2z$`. 
2. Si `$\mathbf{F}(x,y,z)=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}$`, entonces `$\nabla\cdot\mathbf{F}=3$`.
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## Interpretación de la divergencia

Supongamos que tenemos un fluido que se mueve a velocidad dada por el campo `$\mathbf{V}$` con una densidad `$\varrho$` y queremos observar que sucede con el flujo en una curva: `$$\varrho(\mathbf{r}(t))\mathbf{V}(\mathbf{r}(t)).$$` 
Queremos calcular la _razón de cambio_ del flujo en una unidad de volumen `$\Delta x\Delta y\Delta z.$`

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# Rotacional

> __Definición:__ El _rotacional_ de un campo vectorial `$\mathbf{F}$`, denotado por `$\nabla\times\mathbf{F}$`, es el campo vectorial definido por `$$\nabla\times\mathbf{F}=\left(\partial_yF_z-\partial_zF_y\right)\mathbf{i}+\left(\partial_zF_x-\partial_xF_z\right)\mathbf{j}+\left(\partial_xF_y-\partial_yF_x\right)\mathbf{k}$$`

#### Ejemplo

Si `$\mathbf{F}=-y\mathbf{i}+x\mathbf{j}$`, entonces `$\nabla\times\mathbf{F}=2\mathbf{k}$`.

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## Interpretación del Rotacional

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# Actividad

1. Calcula la divergencia del campo `$\mathbf{F}=e^x\cos(y)\mathbf{i}+e^y \sin(x)\mathbf{j}+z^2\mathbf{k}$` y el rotacional del campo `$\mathbf{F}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}$`.
1. Calcula la divergencia y el rotacional del campo `$\mathbf{F}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\mathbf{i}+\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\mathbf{j}+\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\mathbf{k}.$`
1. Si `$\phi$` es una función escalar y `$\mathbf{V}$` es un campo vectorial. Prueba que `$$\nabla \cdot (\phi\mathbf{V})=\nabla\phi \cdot \mathbf{V}+\phi(\nabla \cdot \mathbf{V}).$$`