Integrales de Linea y Trabajo

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# Integrales de Linea y Trabajo
]
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## Sesión 05
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.author[
### Alejandro Ucan
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.date[
### 2023-08-12
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# Objetivos:

* Definir la integral de línea. 
 * Calcular integrales de línea. 
 * Resolver problemas aplicados al trabajo.

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# Integral de línea

> __Definición:__ Sea `$\mathbf{F}:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$` un campo vectorial y `$c:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}^n$` una curva suave. La integral de línea de `$\mathbf{F}$` sobre `$c,$` denotada por `$\int_c\mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}$`, se define como `$$\int_c\mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}=\int_a^b\mathbf{F}(c(t))\cdot c'(t)dt.$$`

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##### Ejemplo 1

> Calcular `$\int_c\mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}$`, donde `$\mathbf{F}(x,y)=( x^2y,2xy^2 )$` y `$c$` es la curva parametrizada por `$c(t)=\langle t^2,t^3\rangle$` para `$0\leq t\leq 1.$`

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##### Solución

Notemos que `$c'(t)=(2t,3t^2)$` y `$\mathbf{F}(c(t))=((t^2)^2(t^3),2(t^2)(t^3)^2)=(t^7,2t^8).$` Por lo tanto, `$$\int_c\mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}=\int_0^1\mathbf{F}(c(t))\cdot c'(t)dt=\int_0^1(t^7,2t^8)\cdot(2t,3t^2)dt=\int_0^1(2t^8+6t^9)dt$$`
`$$=\left.\frac{2}{9}t^9+\frac{6}{10}t^{10}\right|_0^1=\frac{2}{9}+\frac{6}{10}=\frac{47}{45}.$$`

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##### Ejemplo 2

> Calcular `$\int_c\mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}$`, donde `$\mathbf{F}(x,y)=( y,2x )$` y `$c$` es la circunferencia centrada en `$(1,1)$` de radio `$2.$`

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##### Solución

Notemos que `$c(t)=(1+2\cos t,1+2\sin t)$` y `$c'(t)=(-2\sin t,2\cos t).$` Por lo tanto, `$$\int_c\mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}=\int_0^{2\pi}\mathbf{F}(c(t))\cdot c'(t)dt=\int_0^{2\pi}(1+2\sin t,2+4\cos t)\cdot(-2\sin t,2\cos t)dt$$`
`$$=\int_0^{2\pi}(-4\sin t+4\cos t+8\cos^2t)dt=\left.4\cos t+4\sin t+\frac{8}{3}\cos^3t\right|_0^{2\pi}$$`
`$$=4+0+\frac{8}{3}-4-0-\frac{8}{3}=0.$$`

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## ¿Qué pasa si cambio de parametrización?

> __Teorema:__ Sea `$\mathbf{F}:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$` un campo vectorial y `$c:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}^n$` una curva suave. Si `$c_1:[\alpha,\beta]\rightarrow \mathbb{R}^n$` es una reparametrización (que preserva la orientación) de `$c,$` entonces `$$\int_c\mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}=\int_{c_1}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}.$$`

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## ¿Qué pasa si cambiamos la orientación?

> __Teorema:__ Sea `$\mathbf{F}:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$` un campo vectorial y `$c:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}^n$` una curva suave. Si `$c_1:[\alpha,\beta]\rightarrow \mathbb{R}^n$` es una reparametrización (que no preserva la orientación) de `$c,$` entonces `$$\int_c\mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}=-\int_{c_1}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}.$$`

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## ¿Qué pasa si mi curva está en pedazos?

> __Teorema:__ Sea `$\mathbf{F}:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$` un campo vectorial y `$c:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}^n$` una curva suave. Si `$c=c_1+c_2+\cdots+c_n$` con `$c_i:[a_i,b_i]\to\mathbb{R}^n,$` entonces `$$\int_c\mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}=\int_{c_1}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}+\int_{c_2}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}+\cdots+\int_{c_n}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}.$$`

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##### Ejemplo 3

Sea `$\mathbf{F}=(\sin(x),\cos(y),t)$` y `$c$` la curva formada por el triángulo formado por `$(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$` en el sentido contrario a las manecillas del reloj. Calcular `$\int_c\mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}.$`

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## Trabajo

> __Definición:__ Sea `$\mathbf{F}:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$` un campo vectorial y `$c:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}^n$` una curva suave. El trabajo realizado por `$\mathbf{F}$` sobre `$c$` se define como `$$W=\int_c\mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}.$$`

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##### Ejemplo 4

> Una partícula se mueve a lo largo de la curva `$c(t)=( e^t\cos(t),e^t\sin(t) )$` para `$0\leq t\leq 1.$` Si la fuerza que actúa sobre la partícula es `$\mathbf{F}(x,y)=( x^2y,2xy^2 )$`, ¿cuánto trabajo se realiza sobre la partícula?

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# Actividad

1. Si `$\mathbf{F}$` es perpendicular a `$c'(t)$` a lo largo de su dominio. Demuestra que `$\int_c\mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}=0.$`

1. Si `$\mathbf{F}=\nabla f,$` demuestra que `$\int_c\mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}=f(c(b))-f(c(a)).$`

1. Un ciclista sube la montaña `$x^2+y^2+z=2pi$` dando una vuelta completa en sentido contrario a las manecillas del reloj con una altura de incremento constante (derivada constante). Si la fuerza que actúa sobre el ciclista es `$\mathbf{F}(x,y,z)=(y,x,0),$` ¿cuánto trabajo se realiza sobre el ciclista?