Teorema de Green.

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# Teorema de Green.
]
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## Sesión 06
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.author[
### Alejandro Ucan
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.date[
### 2023-08-13
]

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# Objetivos:

* Establecer el teorema de Green. 
 * Demostrar el Teorema de Green. 
 * Aplicar el Teorema de Green.

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# Curvas simples de `$\mathbb{R}^2$`.

> __Definición:__ Unca _curva simple_ `$c$` en `$\mathbb{R}^2$` es una función continua `$c:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}^2$` tal que `$c(t_1)\neq c(t_2)$` si `$t_1\neq t_2$`.

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##### Nota:

* Una curva cerrada simple, es aquella que es simple y además `$c(a)=c(b)$`.
* Las curvas simples acotan un dominio `$D$` (subconjunto conexo y compacto) en `$\mathbb{R}^2$`.

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## Orientación estándar.

> __Convención:__ En lo que resta, tomaremos la orientación que cumpla que el dominio `$D$` quede a la izquierda de la curva `$c,$` la cual se le conoce como _orientación estándar_.

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# Teorema de Green.

> __Teorema:__ Sea `$D$` un dominio acotado en `$\mathbb{R}^2$` cuya frontera `$\partial D$` es una curva cerrada simple y `$c:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}^2$` una parametrización de `$\partial D$` con orientación estándar. Si `$P(x,y)$` y `$Q(x,y)$` son funciones continuas en `$D$` y tienen derivadas parciales continuas en `$D,$` entonces se cumple que `$$\int_{\partial D}P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int\int_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy.$$`

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# Demostración.

> __Lema 1:__ Sea `$D$` una región `$y-$`simple y sea `$C$` su frontera. Supongamos que `$P:D\to\mathbb{R}$` es una función diferenciable. Entonces `$$\int_C P(x,y)dx=-\int\int_D\frac{\partial P}{\partial y}dxdy.$$`

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## Demostración.

> __Lema 2:__ Sea `$D$` una región `$x-$`simple y sea `$C$` su frontera. Supongamos que `$Q:D\to\mathbb{R}$` es una función diferenciable. Entonces `$$\int_C Q(x,y)dy=\int\int_D\frac{\partial Q}{\partial x}dxdy.$$`

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##### Ejemplo

> Queremos comprobar el teorema de Green para el campo `$\mathbf{F}=x\mathbf{i}+xy\mathbf{j},$` donde `$D$` es el circulo unitario `$x^2+y^2\leq 1.$`

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##### Solución:

* La frontera de `$D$` es la curva `$c(t)=(\cos t,\sin t),$` con `$t\in[0,2\pi].$`
* Entonces, `$$\int_{\partial D}P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int_0^{2\pi}(\cos t)(-\sin t)+(\cos t)(\cos t)(\sin t)dt=0.$$`
* Por otro lado, `$$\int\int_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy=\int\int_Dydxdy=0.$$`

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## ¿Cómo usar el Teorema de Green?

> Algunos tips para usar el Teorema de Green: 
 * Si el dominio `$D$` es fácil de expresar en lugar de la curva frontera, entonces es mejor usar el teorema de Green para calcular la integral de línea. 
 * Si es más simple la parametrización de la frontera que calcular la integral doble, utilizar el teorema de Green para calcular la última.

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# Actividad:

* Demostrar la siguiente generalización del teorema de Green: Si `$D$` es una región que puede expresarse como una unión de regiones simples `$D_1,\ldots,D_n$` y `$P(x,y)$` y `$Q(x,y)$` son funciones continuas en `$D$` y tienen derivadas parciales continuas en `$D,$` entonces se cumple que `$$\int_{\partial D}P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\sum_{i=1}^n\int\int_{D_i}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy.$$`

* Demostrar que bajo las condiciones del Teorema de Green, que `$$\int_{\partial D} PQdx+PQdy=\int\int_D\left[ Q\left(\frac{\partial P}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)+P\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial Q}{\partial y}\right)\right]dxdy.$$`