Integral de Superficie y Teorema de Stokes

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# Integral de Superficie y Teorema de Stokes
]
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## Sesión 07
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.author[
### Alejandro Ucan
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.date[
### 2023-08-27
]

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# Objetivos:

* Recordar la Integral de superficie. 
 * Describir las hipótesis del Teorema de Stokes. 
 * Probar la validez del Teorema de Stokes. 
 * Aplicar el Teorema de Stokes.

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# Recordar que...

> __Definición:__ Una superficie _paramétrica_ es una función `$\Phi:[a,b]\times[c,d]\to \mathbb{R}^3$` con una regla de asignación `$$\Phi(u,v)=\left(\phi_1(u,v),\phi_2(u,v),\phi_3(u,v)\right).$$`

__Ejemplos:__ 
 * Una gráfica de una función `$f(x,y)$` es una superficie paramétrica, cuya parametrización es `$(u,v,f(u,v))$` donde `$[a,b]\times[c,d]$` es el dominio de la función `$f$`. 
 
 * El casco esférico del norte es una superficie paramétrica, cuya parametrización es `$$(\cos(\theta)\sin(\phi),\sin(\theta)\sin(\phi),\cos(\phi))$$` donde `$\theta\in[0,2\pi)$` y `$\phi\in[0,\pi/2].$`

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# Integral de Superficie.

> __Definición:__ La __integral de superficie__ de un campo vectorial `$\mathbf{F}$` definido sobre una superficie paramétrica `$S$` (con parametrización `$\Phi$`) es la cantidad: `$$\int_\Phi \mathbf{F}\cdot dS = {\int\!\int}_D \mathbf{F}\cdot \left(T_u \times T_v\right) du dv.$$`

__Nota:__ en este caso `$T_u$` y `$T_v$` representan los vectores tangentes a la superficie en las direcciones `$u$` y `$v.$` Para calcularlos basta con derivar cada función coordenada respecto a la dirección.

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# Teorema de Stokes

> __Teorema:__ Sea `$S$` una superficie orientada parametrizada uno-a-uno por `$\Phi:D\to\mathbb{R}^3$` y `$D$` es una región simple, y sea `$\partial S$` la curva frontera. Para un campo vectorial `$\mathbf{F}$` definida sobre `$S,$` se cumple la siguiente igualdad `$${\int\!\int}_S (\nabla\times \mathbf{F})\cdot dS = \int_{\partial S} \mathbf{F}\cdot ds.$$`

### ¿Qué gano con esto?

Obtenemos que la integral de la parte _normal_ del campo sobre la superficie coincide con la parte _tangencial_ del campo sobre su frontera.

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## Prueba del Teorema de Stokes.

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# Teorema de Stokes: aplicación.

> Queremos medir el flujo de agua que pasa en una sección de un tubo de radio 10 `$m$` y cuya frontera está parametrizada por `$(0,\cos t, \sin t)$` con `$0\leq t\leq 2\pi.$` Si la velocidad del agua está dada por el campo `$\mathbf{F}(x,y,z)=(0,y^2,\cos(x)).$`