class: center, middle, inverse, title-slide .title[ # Teorema de Gauss ] .subtitle[ ## Sesión 08 ] .author[ ### Alejandro Ucan ] .date[ ### 2023-08-27 ] --- # Objetivos: * Describir los dominios simples de `\(\mathbb{R}^3\)` y sus fronteras. <br/><br/> * Describir las hipótesis del Teorema de Gauss. <br/><br/> * Probar la validez del Teorema de Gauss. <br/><br/> * Aplicar el Teorema de Gauss. <br/><br/> --- # Dominios simples de `\(\mathbb{R}^3\)` y sus fronteras > __Definición:__ Decimos que un subconjunto de `\(\mathbb{R}^3\)` es un _dominio simple_ si se puede expresar como una región entre dos superficies simples. --- # Dominios simples de `\(\mathbb{R}^3\)` y sus fronteras > __Definición:__ La frontera de un dominio simple `\(D,\)` se denota por `\(\partial D\)` y es una superficie (parametrizable) de `\(\mathbb{R}^3\)` (posiblemente a trozos) cerrada (no tiene frontera). -- ##### Ejemplo: Supongamos tenemos la bola unitaria `\(\mathbb{B}^3,\)` su frontera es la esfera unitaria. De igual manera, el cubo unitario tiene como frontera a los seis pedazos de planos que lo forman. --- # Teorema de Gauss > __Teorema:__ Sea `\(D\)` una dominio simple de `\(\mathbb{R}^3\)` y `\(\partial D\)` su frontera con una orientación dada. Si `\(\mathbf{F}\)` es un campo definido en `\(D,\)` entonces se cumple que `$$\int_{\partial D} \mathbf{F}\cdot dS = \int_{D} \nabla \cdot \mathbf{F} dV.$$` --- ## Prueba del Teorema de Gauss --- # Aplicaciones del Teorema de Gauss > Calcule la cantidad de flujo del campo `\(\mathbf{F}(x,y,z)= (xy^2,x^2y,y)\)` en la superficie formada por el cilindro `\(x^2+y^2=1\)` y la parte de los planos `\(z=\pm 1\)` acotada por el cilíndro. -- ##### Solución: Notemos que para calcular el flujo necesitaríamos parametrizar la superficie formada por el cilíndro y los discos en `\(z=\pm 1.\)` Sin embargo, podemos aplicar el Teorema de Gauss para calcular el flujo. La región acotada por esta región es simple y su frontera es la superficie formada por el cilindro y los discos en `\(z=\pm 1.\)` Entonces, `$$\int_D \nabla \cdot \mathbf{F} dV = 2 \int_{x^2+y^2\leq 1}(x^2+y^2)dxdy=2\pi.$$` --- # Ley de Gauss > __Teorema:__ Sea `\(D\subset \mathbb{R}^3\)` una región simple tal que `\((0,0,0)\not\in \partial D.\)` Entonces se cumple que `$$\int_{\partial D}\frac{\mathbf{r}}{r^3}\cdot dS =\left\{\begin{array}{c} 4\pi \text{ si } (0,0,0)\in D \\ 0 \text{ si } (0,0,0)\not\in D \end{array}\right.$$` donde `\(\mathbf{r}=(x,y,z)\)` y `\(r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.\)` --- ## Prueba de la Ley de Gauss