class: center, middle, inverse, title-slide .title[ # Funciones de variable compleja ] .subtitle[ ## Sesión 10 ] .author[ ### Alejandro Ucan ] .date[ ### 2023-09-17 ] --- preserve3ab6d5986ac9715f # Objetivos: * Introducir los conceptos de regiones en el plano complejo. <br/> <br/> * Entender la compactificación en un punto del plano complejo. <br/> <br/> * Introducir el concepto de función de variable compleja. <br/><br/> * Entender los límites y continuidad en el plano complejo. --- # Regiones del Plano complejo (Topología del plano complejo) > __Definición:__ la distancia entre los complejos `\(z_1=a+bi\)` y `\(z_2=c+di\)` está dada por la expresión `$$|z_1-z_2|=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}.$$` ### Algunas propiedades de la distancia: * `\(|z_1-z_2|=|z_2-z_1|.\)` <br/> * `\(|z_1+z_2|\leq |z_1|+|z_2|.\)` <br/> > __Definición:__ una `\(\varepsilon-\)`vecindad de `\(z_0\)` es simplemente el conjunto de complejos que se encuentran a distancia a lo más `\(\varepsilon\)` del centro `\(z_0,\)` en notación esto es: `$$|z - z_0|<\varepsilon.$$` --- ## Clasificación de puntos. > __Definición:__ dado un conjunto `\(S\)` en nuestro plano complejo, un punto `\(z\)` se dice que es: <br/><br/> * _interior_ si podemos construir una vecindad de `\(z\)` donde todos los puntos sean de `\(S.\)` <br/><br/> * _exterior_ si podemos construir una vecindad de `\(z\)` donde todos los puntos no pertenezcan a `\(S.\)` <br/><br/> * _frontera_ si para toda vecindad de `\(z\)` esta contiene puntos de `\(S\)` y puntos que no pertenecen a `\(S.\)` <br/><br/> Denotaremos por `\(\mbox{int}(S)\)` al conjunto de puntos interiores, `\(\mbox{ext}(S)\)` al conjunto de puntos exteriores, y por `\(\partial S\)` el conjunto de puntos frontera. --- ## Abiertos, cerrados y otras propiedades: > __Definición:__ Un conjunto `\(S\)` del plano complejo se dice que es: <br/><br/> * _abierto_ si sólo contiene puntos interiores. <br/><br/> * _cerrado_ si todos sus puntos frontera pertenecen al conjunto. <br/><br/> Denotaremos por `\(\overline{S}\)` al conjunto que resulta de unir `\(S\)` con sus puntos frontera `\(\partial S,\)` y se le llama _cerradura._ <br/> > __Definición:__ Un conjunto abiero `\(S\)` en `\(\mathbb{C}\)` se dice que es _conexo_ si cualquier par de puntos los puedo unir por un camino de rectas contenido enteramente en `\(S.\)` <br/> Un conjunto `\(S\)` es _acotado_ si existe un círculo de radio `\(R\)` que contiene al conjunto `\(S.\)` Si no existe tal circulo, entonces diremos que `\(S\)` es _no acotado._ --- # Funciones de (una) variable compleja. > __Definición:__ Sea `\(S\)` un conjunto de los número complejos. Una _función_ definida en `\(S\)` es una regla que asigna a cada `\(z\in S\)` un número complejo `\(w.\)` Denotaremos por `$$w=f(z)$$` a esta regla de asignación. <br/><br/> En general pediremos que `\(S\)` sea un _dominio_ (conjunto abierto y conexo). __Example:__ Consideremos la función `\(f(z)=\frac{1}{z},\)` la función que asigna a cada complejo `\(z\)` su inverso multiplicativo `\(1/z.\)` <br/><br/> Podemos definirla en el dominio `\(\mbox{Im} z>1\)` o en el dominio `\(z\neq 0.\)` --- ## ¿Funciones multivariadas? Recordemos que para que una expresión sea llamado función, necesitamos que para cada `\(z\)` debe haber un solo valor de la expresión. En caso que esto no se cumpla, decimos que la regla de asignación define una _función multivaluada_. <br/><br/> __Ejemplo:__ Las funciones raíz `\(f(z)=z^{1/k},\)` es una función multivaluada dado que para cada complejo `\(z\)` existen `\(k\)` raíces que satisfacen `\(w^k=z.\)` <br/><br/> En estos casos podemos tomar regiones tales que la función multivaluada, se convierta a una univaluada (función usual). ### Función significa función univaluada. --- ## Funciones componente. > Si `\(f\)` es una función compleja, entonces para cada `\(z\)` tenemos que `\(w=f(z)\)` es un complejo, por lo que se puede escribir como su parte real y su parte imaginaria o lo que es lo mismo `$$f(z)=u(\mbox{Re}z,\mbox{Im}z)+iv(\mbox{Re}z,\mbox{Im}z)$$` donde `\(u\)` y `\(v\)` podemos pensarlo como funciones `\(\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}.\)` __Ejemplo:__ Sea `\(f(z)=z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy,\)` entonces: <br/><br/> * `\(\mbox{Re}(f)(z)=u(z)=x^2-y^2.\)` <br/><br/> * `\(\mbox{Im}(f)(z)=v(z)=2xy.\)` --- ## Funciones componente. __Ejemplo:__ Sea `\(f(z)=z*\overline{z},\)` ¿quiénes son sus funciones componentes? $$ z\overline{z}=(x+iy)(x-iy)=x^2+y^2+i0.$$ Entonces las funciones componente son `\(u(x,y)=x^2+y^2\)` y `\(v(x,y)=0.\)` > En estos casos cuando la componente `\(v\)` sea identicamente cero, diremos que la función es _real-valuada_ de _variable compleja_. --- # ¿Cómo visualizar mis funciones? > Informalmente hablando, podemos pensar que nuestras funciones complejas son funciones de `\(\mathbb{R}^4\)` en \mathbb{R}^4,$ lo cual dificulta observarlas gráficamente. <br/><br/> Para esto utilizaremos algo llamado _mapeo_ o _transformación_ de un dominio en otro. __Ejemplo:__ Grafique `\(f(z)=|z|-i\mbox{Im}(z).\)` --- # Cálculo en variable compleja. ## Límites > Sea `\(f\)` una función de variable compleja definida en un dominio `\(S.\)` Diremos que `\(w_0\in D\)` es el límite de `\(f\)` cuando `\(z\)` tiende a `\(z_0\)` si para toda vecindad `\(V\)` de `\(w_0,\)` existe una vecindad `\(U\)` de `\(z_0,\)` tal que `\(f(U)\subset V.\)` <br/><br/> > __Teorema:__ Supongamos que `\(f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y),\)` `\(z_0=x_0+iy_0\)` y `\(w_0=u_0+iv_0.\)` Entonces `\(\displaystyle{\lim_{z\to z_0}f(z)=w_0}\)` si y sólo si: `$$\displaystyle{\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}u(x,y)=u_0} \quad \mbox{ y } \quad \displaystyle{\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}v(x,y)=v_0}.$$` --- __Ejemplo:__ * Calcule el límite de `\(f(z)=(z^2+1)^{-1}\)` cuando `\(z\to 0.\)` --- ## Límites > __Teorema:__ Supongamos que se cumple que `\(\displaystyle{\lim_{z\to z_0}f(z)=w_0}\)` y `\(\displaystyle{\lim_{z\to z_0}g(z)=W_0}.\)` Entonces, se cumple:<br/><br/> * `\(\displaystyle{\lim_{z\to z_0}(f(z)+g(z))=w_0+W_0},\)` <br/><br/> * `\(\displaystyle{\lim_{z\to z_0}(f(z)g(z))=w_0W_0}\)` y <br/><br/> * si `\(W_0\neq 0,\)` entonces `\(\displaystyle{\lim_{z\to z_0}(f(z)/g(z))=w_0/W_0}.\)` --- ## Continuidad > __Definición:__ Una función de variable compleja es continua en un punto `\(z_0\)` si se cumplen las siguientes tres afirmaciones: * `\(\displaystyle{\lim_{z\to z_0}f(z)}\)` existe, <br/><br/> * `\(f(z_0)\)` existe y <br/><br/> * `\(\displaystyle{\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)}.\)` <br/><br/> __Contraejemplo:__ la función `\(f(z)=z^{-1}\)` es una función discontinua en `\(0.\)`