Funciones Elementales

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.title[
# Funciones Elementales
]
.subtitle[
## Sesión 11
]
.author[
### Alejandro Ucan
]
.date[
### 2023-09-27
]

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<div>
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# Objetivos:

* Definir las versiones complejas de: exponencial, coseno, seno y logaritmo. <br/><br/>
 * Mostrar las principales propiedades de las versiones complejas de estas funciones.
 
 
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# La función exponencial. 
 
 > Queremos una función `$f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$` tal que cuando nos restringimos a los números reales ($z=x+i0$) sea la función exponencial que conocemos, y que además que su derivada sea igual a la función, es decir, `$$f(x+i0)=e^x\quad\mbox{y}\quad f'(z)=f(z).$$`
 
 Consideremos la función compleja `$$f(x+iy)=e^x\cos(y)+ie^x\sin(y).$$`

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#""
 Notemos que:

* Está definida en todo `$\mathbb{C}.$` <br/>
  * `$f(x+i0)=e^x\cos(0)+ie^x\sin(0)=e^x 1=e^x.$` <br/>
  
  __Ejemplo:__ La ecuación de Euler `$$\exp i\pi=e^0\cos(\pi)+ie^0\sin(\pi)=1.$$` 
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## Algunas convenciones y datos interesantes.

1. Convención: cuando evaluamos la parte imaginaria del complejo en las funciones seno y coseno, asumimos que son radianes.<br/><br/>

1. Cuando evaluamos la función anterior en `$z=0+i\theta$` obtenemos `$$f(0+i\theta)=\cos(\theta)+i\sin(\theta)=e^{i\theta}$$`. <br/>

1. Convención: la función anterior se llama __exponencial compleja__ y se denota por `$$\mbox{exp}z$$` en lugar `$e^z.$`
 
 
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## Propiedades de la exponencial.

1. `$|\mbox{exp }z|=e^{\mbox{Re}(z)}$` y `$\mbox{arg}(\mbox{exp }z)=\mbox{Im}(z).$` <br/><br/>

1. Para cualquier número complejo `$w=r\cos(\phi)+ir\sin(\phi),$` se el complejo `$z$` tal que `$\mbox{exp }z=w$` es `$$z=\ln(r)+i\phi.$$` <br/>

1. Dado que `$e^x\neq 0$` y `$\cos(\cdot)$` y `$\sin(\cdot)$` no son simultaneamente cero, entonces `$$\mbox{exp }z\neq 0.$$` Lo cual implica que el __rango__ de la función compleja `$\mbox{exp}$` es `$\mathbb{C}\setminus\{0\}.$` <br/><br/>

1. Dado que las funciones `$\sin$` y `$\cos$` son periódicas (con periódo `$2\pi$`) entonces `$\mbox{exp }z$` es una función periódica en `$\mathbb{C}.$`

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# Algunas propiedades de la exponencial.

__Reto:__ prueba que la exponecial compleja satisface las siguientes propiedades: 
   
 `$\mbox{exp}(z_1+z_2)=(\mbox{exp }z_1)(\mbox{exp }z_2),$` y 
 `$\frac{\exp z_1}{\exp z_2}=\exp(z_1-z_2)$`

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# Funciones Trigonométricas:

> De la definición de la exponencial tenemos `$e^{ix}=cos x+i\sin x$` y `$e^{-ix}=\cos x-i\sin x,$` para cualquier real `$x.$` Entonces podemos decir: `$$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\quad \mbox{y}\quad \cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}.$$`

De lo anterior podemos definir el __seno__ y el __coseno__ complejos con las expresiones `$$\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\quad \mbox{y}\quad \cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}.$$`

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## Propiedades de las funciones trigonométricas

1. Son funciones periódicas, de período `$2\pi.$` <br/><br/>

1. `$\sin^2(z)+\cos^2(z)=1.$` <br/><br/>

1. `$\sin(z_1+z_2)=\sin z_1 \cos z_2 +\cos z_1 \sin z_2.$` <br/><br/>

1. `$\sin(-z)=-\sin(z)$` y `$\cos(-z)=\cos(z).$` <br/>

1. `$\sin\left(\frac{\pi}{2}-z\right)=\cos(z).$` <br/>

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# La función Logaritmo.

> Anteriormente mencionamos que una propiedad de la función `$\exp z$` es que tiene una función inversa, esta función inversa es la función logaritmo complejo, denotada por `$\log z.$`

La función logaritmo se expresa para `$z=r\cos\theta+ir\sin\theta$` como: `$$\log z=\ln r +i\theta.$$`

Dado que las función `$\exp z$` es una función periódica, la función `$\log z$` es una función multivaluada cuyo dominio es `$\mathbb{C}\setminus\{0\}.$`
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## Las ramas y la multivaluación.

Consideremos a `$\Theta$` como el valor principal del argumento de un complejo, es decir, `$-\pi < \Theta \leq \pi,$` entonces la expresión del logaritmo se escribe: `$$\log z=\ln r +i (\Theta +2n\pi)$$` donde `$n$` es cualquier entero.

__Ejemplo:__ `$\log i.$` Recordemos que `$r=|i|=1$` y `$\arg(i)=\pi/2.$` Entonces todos los valores de `$\log i$` son `$$\ln(1)+i\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)=i\left(\frac{\pi+4n\pi}{2}\right)=\left\{\cdots,i\frac{-3\pi}{2},i\frac{\pi}{2},i\frac{5\pi}{2},\cdots\right\}.$$`

_Nota:_ al valor de `$\log z$` cuando `$n=0$` se conoce _valor principal_.
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## Algunas propiedades del logaritmo.

1. `$\exp \log z=z=\log\exp z.$` <br/><br/>

1. `$\log (z_1 z_2)=\log z_1 +\log z_2.$` <br/><br/>

1. `$\log \frac{z_1}{z_2}=\log z_1 -\log z_2.$`

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# Potencias complejas

> Dados `$z$` y `$w$` complejos, se define `$z^w$` como el complejo `$$\exp\left(w\log z\right).$$`

__Ejemplo:__ Encuentre el valor de `$i^i.$`

El valor principal de `$\log i$` es  `$i\pi/2,$` entonces `$$i\log i=i^2\pi/2=-\pi 2.$$` Por lo que `$$i^i=\exp\left(\frac{-\pi}{2}\right)$$` es decir, `$i^i$` es un número real.