Señales y Sistemas

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.title[
# Señales y Sistemas
]
.subtitle[
## Sesión 12
]
.author[
### Alejandro Ucan
]
.date[
### 2023-10-01
]

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# Objetivos:

* Motivar el estudio de las series de Fourier. <br/><br/>
 * Describir las propiedades matemáticas de señales, y sus forma de estudiarla.<br/><br/>
 * Introductir los polinomios trigonométricos.
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 #Motivación
 
 ## Señales

> Nos motivaremos por el estudio de las _señales:_
  * Intensidad de una corriente electrica.
  * Diferencia de potencial entre dos puntos en un circuito.
  * Posición de un objeto (respecto al tiempo o al espacio).
  * Escala de grises de una imagen.
  * Componentes de un campo vectorial.
  * Un Sonido.
  
<br/><br/>
> Definición: una señal corresponde a valores observados que dependen del tiempo o del espacio. Estas pueden ser análogas o discretas, dependiendo de la continuidad de la dependencia.

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## Sistema de Tranmisición

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# Un Sistema

> Supongamos que mis señales `$f(t)$` son funciones cuyo codominio es un espacio vectorial `$(\mathbb{R}, \mathbb{C}),$` esto implica que mi espacio de funciones sea un espacio vectorial.

<br/><br/>
> Definición: Un sistema es un operador lineal `$S$` que toma una señal `$f(t)$` y la transforma en otra señal `$S(f(t)).$`
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## El principio de superposición:

> Decimos que las propiedades lineales del operador systema, `$$S(x+u)=S(x)+S(u) \mbox{ y } S(\alpha x)=\alpha S(x)$$` con `$\alpha\in \mathbb{K}$` se conoce como el principio de Superposición.

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## Causalidad

> Decimos que un sistema `$S$` es causal si la salida del sistema en el tiempo `$t$` depende de la entrada del sistema en el tiempo `$t$` o en tiempos anteriores.

`$$x_1(t)=x_2(t) \mbox{ para todo } t\leq t_0 \Rightarrow S(x_1)(t)=S(x_2)(t) \mbox{ para todo } t\leq t_0.$$`

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## Invarianza en el tiempo

> Decimos que un sistema `$S$` es invariante en el tiempo si la salida del sistema en el tiempo `$t$` depende de la entrada del sistema en el tiempo `$t$` o en tiempos anteriores. Si `$\tau_\alpha$` es el operador delay `$\tau_\alpha x(t)=x(t-\alpha)$` entonces `$$S(\tau_\alpha x)(t)=S(x)(t-\alpha).$$`

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# El espacio de funciones de cuadrado intregable.

> __Definición:__ El espacio de funciones (periodicas de cuadrado integrable `$L_p^2((0,a))$` es el espacio de funciones `$f:(0,a)\to \mathbb{C}$` tales que `$$\int_0^a|f(t)|^2dt<\infty$$` y que además son de periodo `$a.$`

__Lema:__ El espacio `$L_p^2(0,a)$` es un espacio vectorial real.
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## Producto Interno y Norma:

> __Definción:__ Definamos la función `$\langle \cdot,\cdot\rangle:L_p^2(0,a)\times L_p^2(0,a)\to \mathbb{C}$` dada por `$$\langle f,g\rangle=\int_0^a f(t)\overline{g(t)}dt.$$`

__Lema:__ La función `$\langle \cdot,\cdot\rangle$` es un producto interno en `$L_p^2(0,a).$`

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> __Definición:__ El producto anterior define una norma en el espacio `$L_p^2(0,a)$` de manera natural `$$\|f\|=\sqrt{\langle f,f\rangle}=\sqrt{\int_0^a|f(t)|^2dt}.$$`

<br/><br/>
__Lema:__ La norma anterior es una norma en `$L_p^2(0,a).$`

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 # El espacio de Señales Trigonométricas.
 
 > Consideremos las funciones `$\varepsilon:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$` dadas por 
 `$$\varepsilon_n(t)=\exp\left(2i\pi n\frac{t}{a}\right).$$` x

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<br/><br/> Estas funciones son periódicas `$$\varepsilon(t+a)=\exp\left(\frac{2i\pi n (t+a)}{a}\right)=\exp\left(\frac{2i\pi n t}{a}+2i\pi n\right)=\exp\left(\frac{2i\pi n t}{a}\right)\exp\left(2i\pi n\right)=\exp\left(\frac{2i\pi n t}{a}\right)$$`

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## Polynomios Trigonométricos

> Entonces cualquier combinación lineal (con coeficientes complejos) de las funciones anteriores me va a dar una función periódica de periodo `$a.$`

`$$p(t)=\sum_{j=1}^n c_j \varepsilon_j(t).$$`

> __Definición:__ Un polinomio trigonométrico es una función `$p(t):\mathbb{R}\to \mathbb{C}$` definida por la suma: `$$p(t)=\sum_{j=-n}^n c_j \varepsilon_j(t).$$`

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## Representación visual de los polinomios trigonométricos

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## Representación Real

> Notemos que `$\overline{\varepsilon_n(t)}=\varepsilon_{-n}(t),$` por lo que el polinomio trigonométrico es simplemente: `$$p(t)=a_0+\sum_{j=1}^n\left(a_n cos\left(\frac{2\pi nt}{a}\right)+b_ni\sin\left(\frac{2\pi n t}{a}\right)\right)$$`
con `$n\leq 0$` y `$$a_n=c_n+c_{-n}\mbox{ y } b_n=i(c_n-c_{-n})$$`

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## Ortogonalidad

> __Lema:__ Para las funciones `$\varepsilon_n(t)$` se cumple que `$$\int_0^a \varepsilon_n(t)\overline{\varepsilon_n(t)}dt=a\delta_{nm}.$$`

Si consideramos el conjunto de polinomios trigonométricos de grado menor o igual a `$N$` y lo denotamos por `$T_N,$` y este es un subespacio vectorial (complejo) de `$L_p^2(0,a)$` y dado que el producto interno se hereda.

Lo anterior implica que `$\{\varepsilon_n(t)\}_{j=-N}^N$` es una base ortogonal del espacio vectorial `$T_N.$`