Series de Fourier

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.title[
# Series de Fourier
]
.subtitle[
## Sesión 13
]
.author[
### Alejandro Ucan
]
.date[
### 2023-10-04
]

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# Objetivos:

* Definir lo que entendemos por aproximación a una función periódica. <br/><br/>
 * Enunciar el teorema de aproximación de Fourier mediante series. <br/><br/>
 * Enunciar propiedades de los coeficientes de la aproximación.
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# ¿Si tenemos una función pediódica general cómo la representamos en senos y cosenos?

> * Considerando sólo sumas __finitas__ esto no es posible. <br/><br/>
  * En un paper de 1807, Joseph Fourier demostró que si es posible con técnicas de ese época. <br/><br/>
  * Nos restringiremos a las funciones tales que `$$\int_0^a |f(t)|^2dt<\infty.$$`
  
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# Aproximación en el Espacio `$L_p^2(0,a)$`
> Queremos encontrar un polinomio trigonométrico `$p(t)$` tal que minimice $$ ||f-p||_2=\sqrt{(f,p)}.$$

Esquematicamente tenemos el siguiente dibujo:

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## La mejor aproximación:

> __Teorema:__ Para cualquier función `$f\in L_p^2(0,a),$` existe un único polinomio trigonométrico `$f_N\in T_N$` tal que `$$||f-f_N||_2=\min_{p\in T_N}||f-p||_2$$` donde el polinomio `$$f_N=\sum_{j=-N}^N c_j\varepsilon_j(t)$$` y `$$c_j=\frac{1}{a}\int_0^af(t)\exp\left(\frac{2\pi n i t}{a}\right)dt.$$`

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# Ejemplo:

> Consideremos la función periódica `$f(t)=1$` si `$0\leq t<\pi,$` `$f(t)=-1$` si `$\pi\leq t < 2\pi$` y `$f(t+2\pi)=f(t).$`

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# Ejemplo:

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# El teorema de Aproximación de Fourier

> __Teorema:__ Para `$f\in L_p^2(0,a)$` y `$f_N$` su mejor aproximación en `$T_N$` tenemos que `$$f_N\to f$$` as `$n\to \infty$` o equivalentemente `$$\int_0^a |f(t)-f_N(t)|^2dt =0 \mbox{ cuando } n\to \infty.$$`

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## Implicaciones del Teorema

> Ahora ya es correcto decir que `$$f(t)=\sum_{j=-\infty}^\infty c_j \varepsilon_j(t)$$` `$$f(t)=a_n +\sum_{j=1}^\infty (a_n\cos\left(\frac{2\pi n t}{a}\right)+ b_n\sin\left(\frac{2\pi n t}{a}\right)).$$`

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# Propiedades de los Coeficientes de Fourier:

* __Unicidad:__ Si `$f=g$` entonces `$$c_n(f)=c_n(g)$$` en particular `$$c_n(f)=0\Rightarrow f=0.$$`

<br/><br/>
* __Reales:__ Si `$f$` es una función realvaluada, entonces `$c_n$` es real.

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# Actividad en clase:

> Calculas los coeficientes de Fourier para las siguientes funciones y escribelas en terminos de series de senos y cosenos. <br/><br/>
  * `$f(t)=|t|$` si `$-1\leq t <1$` y `$f(t+2)=f(t)$` <br/><br/>
  * `$f(t)=|\sin(t)|$` <br/><br/>
  * `$f(t)=\sin^3(t)$`