Transformada de Fourier Discreta

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# Transformada de Fourier Discreta
]
.subtitle[
## Sesión 14
]
.author[
### Alejandro Ucan
]
.date[
### 2023-10-07
]

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# Objetivos:

* Definir la problematica de estudiar señales continuas. <br/><br/>
 * Resolver cómo calcular los coeficientes de la seria de Fourier con datos discretos. <br/><br/>
 * Enunciar el método básico.
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# Problemática

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# Problemática

<img src="https://www.allaboutcircuits.com/uploads/articles/Figure2.png" width="60%" />
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# Problemática:

### ¿Cómo conocer la __serie de Fourier__ de una función cuando solo tenemos información finita y discreta de nuestro input?

Recordemos que nuestros coeficientes de la serie de Fourier están dados por: `$$c_n=\frac{1}{a}\int_0^a f(t)\exp\left(-2i\pi n \frac{t}{a}\right) dt.$$`

### ¿Existen métodos númericos para calcular integrales con información discreta?

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# Integración Discreta (Formula del Trapezoide)

> Si queremos integrar la función `$f$` en el intervalo `$[a,b],$` entonces se cumple que `$$\int_a^b f(x)dx \cong \frac{b-a}{2}\left(f(a)+f(b)\right)-\frac{(b-a)^3}{12}f''(\varepsilon)$$`

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# En nuestro contexto:

> Supongamos que tenemos una muestra de `$N$` puntos (equidistantes) de nuestra función periódica en un período: `$$f\left(k\frac{a}{N}\right)=y_k, \quad k=0,1,2,\cdots, N-1.$$`

<br/><br/>
Queremos utilizar la fórmula del trapecio para calcular los coeficientes `$c_n$` con `$n=-N/2,\cdots, N/2-1.$`

`$$\tilde{c}_n=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} y_k\exp\left(-2i\pi n \frac{k}{N}\right).$$`
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# La Transformada de Fourier Discreta (DFT)

La ecuación anterior se puede reescribir `$$Y_n=\tilde{c}_n=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} y_k\exp\left(-2i\pi n \frac{k}{N}\right)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} y_k \omega_N^{-nk},$$` donde `$\omega_N=\exp\left(\frac{2i\pi}{N}\right)$` raíz `$N-$`ésima de la unidad.

> __Definición:__ La transformación (lineal) de `$\mathbb{C}^N$` (en si mismo) dada por `$$\mathscr{F}_N: (y_k)\to(Y_n)$$` se le conoce como la transformada de Fourier discreta de orden `$N.$`

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## ¿Qué significado tiene esta transformación?

Supongamos que estamos en `$N=8,$` entonces el vector DFT me entrega los siguientes coeficientes:

`$$\begin{array}{cccccccc}
Y_0 & Y_1 & Y_2 & Y_3 & Y_4 & Y_5 & Y_6 & Y_7\\
c_0^8 & c_1^8 & c_2^8 & c_3^8 & c_{-4}^8 & c_{-3}^8 & c_{-2}^8 & c_{-1}^8
\end{array}$$`

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## ¿Y la representación matricial?

> La DFT tiene como matriz asociada `$$\Omega_N=(\omega_N^{nk})$$`

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# Propiedades de la DFT

> __Proposición:__ Si `$\mathscr{F}_N:(y_k)\to (Y_n),$` entonces:

* `$\mathscr{F}_N:(y_{-k})\to (Y_{-n}),$`
  * `$\mathscr{F}_N:(\overline{y}_k)\to (\overline{Y}_{-n}),$`
  * `$\mathscr{F}_N:(\overline{y}_{-k})\to (\overline{Y}_n),$`
  * Si `$(y_k)$` es real, entonces `$Y_{-n}=\overline{Y}_n.$`
  * Se cumple que `$$\sum_{k=0}^{N-1} |y_k|^2=N\sum_{n=0}^n |Y_n|^2.$$`
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# DFT de Datos Reales

> Supongamos que tenemos unos datos `$(z_k)=(x_k+iy_k)$` y `$(Z_n)$` su DFT, entonces sus partes real y compleja se ven como: `$$X_n=\frac{1}{2}\left(Z_n+\overline{Z}_{N-n}\right)$$` `$$Y_n=\frac{1}{2i}\left(Z_n-\overline{Z}_{N-n}\right)$$` <br/><br/>
Así `$$\mathscr{F}_N:(x_k)\to (X_n)$$` `$$\mathscr{F}_N:(y_k)\to (Y_n)$$`

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# Ejemplo:

> Calcule la Transformada de Fourier Discreta de vectores `$x_k=k,$` con `$k=0,1,\cdots,N-1.$`

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# Actividad en Clase:

1. Calcular la DFT de la siguiente sucesión: `$x_0=1,\, x_1=1,\,x_2=-1$` y `$x_3=-1.$` <br/><br/>

2. Calcular la DFT de la siguiente sucesión: `$x_0=3,\, x_1= −1,\, x_2= 4,$` y `$x_3= 2.$` <br/><br/>

3. Dada la secuencia de longitud `$N=4,$` definida por `$(x_k)= \cos\left(\frac{\pi k}{2}\right)$` para `$k= 0,1,2,3$` calcula su Transformada Discreta de Fourier (DFT). <br/><br/>

4. Investiga sobre la DFT inversa y calculala para la sucesión `$(X_n)=(0,-2i,0,2i).$` <br/><br/>

5. Calcula la DFT de la siguiente sucesión compleja: `$(x_k)=(3+2i,12i,1-i,-1-i).$`