Transformada de Fourier

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.title[
# Transformada de Fourier
]
.subtitle[
## Sesión 15
]
.author[
### Alejandro Ucan
]
.date[
### 2023-10-07
]

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# Objetivos:

* Definir la problematica: expandir el tipo de señales. 
 * Definir la transformada de Fourier como solución a esta problemática. 
 * Calcular transformadas de Fourier.
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# Problemática

> ¿Podemos expandir el tipo de señales que podemos transformar? 
 * ¿Es posible definir un análogo a la serie de Fourier para una función no periódica? 
 * ¿podemos extender o modificar las series de Fourier para cubrir el caso de señales de luz o sonido?
 
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# Idea intuitiva:

> Imaginemos que hacemos tomamos funciones periódicas cuyo periodo tiende a cero (cada vez más pequeño). Esto implicaria que nuestra suma se hace cada vez más __fina.__
`$$\sum_{j=-\infty}^\infty \to \int_{-\infty}^\infty.$$`

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# ¿Qué señales podemos utilizar en este caso?

> La __integral de Fourier__ nos ayuda a representar funciones cómo: 
 * un pulso de voltaje. 
 * un rayo de luz. 
 * un sonido no repetido. 
 * un rango de tonos musicales. 
 * un rango completo de colores en la luz.

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# Transformada de Fourier

> __Definición:__ Sea `$f$` una función (integrable). Definimos el _operador lineal_ `$\mathscr{F}$` que va desde el espacio de funciones integrables en al de funciones acotadas `$$g(\alpha)=\mathscr{F}(f)(\alpha)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\exp\left(-2\pi i x\alpha\right)dx$$`
`$$f(x)=\mathscr{F}^{-1}(g)(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty g(\alpha)\exp\left(2\pi i x\alpha\right)dx$$`

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## Ejemplo:

> Calcule la transformada de Fourier para la función `$f(x)=1$` si `$-1\leq x \leq 1$` y `$f(x)=0$` de otra manera.

Por definición tenemos que calcular: `$$\mathscr{F}(f)(\alpha)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\exp(-2i\pi \alpha x)dx$$`

Por el tipo de función, solamente sobrevive la integral `$$\int_{-1}^1 \exp(-2i\pi \alpha x)dx=\int_{-1}^1\cos(2\pi x \alpha) -i \sin(2\pi \alpha x) dx=\int_{-1}^1\cos(2\pi \alpha x)dx-i\int_{-1}^1\sin(2\pi \alpha x)dx$$`
`$$=\frac{\sin(2\pi\alpha )}{\pi\alpha}$$`

La tranformada de `$f(x)$` es la función `$g(\alpha)=\frac{\sin(2\pi\alpha)}{\pi\alpha}.$`

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## Ejercicio:

> Calcula la transformada de Fourier para la función `$f(x)=1$` para `$a\leq x\leq b$` y `$f(x)=0$` de lo contrario.

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## Ejercicio:

> Calcula la transformada de Fourier para la función `$f(x)=1$` para `$-a\leq x\leq a$` y `$f(x)=0$` de lo contrario.

`$$\int_{-a}^a \exp(-2i\pi \alpha x)dx=\int_{-a}^a\cos(2\pi \alpha x)dx-i\int_{-a}^a\sin(2\pi \alpha x)dx$$`
`$$=\frac{\sin(2\pi\alpha a)}{\pi\alpha}$$`
> ¿Cómo se vería esta transformada para la función definida en `$[a,b]$`?

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# Propiedades de la transformada de Fourier

> __Proposición:__ Sea `$f$` una función integrable, entonces se cumple: 
 * `$\overline{\mathscr{F}^{-1}(f)}=\mathscr{F}^{-1}(\overline{f}).$` 
 * `$\mathscr{F}(f)(-\alpha)=\mathscr{F}(f_\sigma)$` dónde `$f_\sigma(x)=f(-x).$` 
 * Si `$f(x)$` es par (impar) entonces `$g(\alpha)$` es par (impar). 
 * Si `$f(x)$` es real y par (real e impar) entonces `$g(\alpha)$` es real y par (imaginaria e impar).
 
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# Actividad en clase:

> Calcula la transformada de Fourier de la funciones: 
 * `$f(x)=-1$` si `$-\pi <x \leq 0,$` `$f(x)=1$` si `$0\leq x < \pi$` y cero en otra forma. 
 * `$f(x)=|x|$` si `$-1\leq x\leq 1$` y `$f(x)=0$` de otra manera. 
 * `$f(x)=2a-|x|$` si `$-a\leq x\leq a$` y `$f(x)=0$` de otra manera. 
>Supongamos que `$u(x)=1$` si `$x\geq 0$` y `$u(x)=0$` si `$x<0.$` Calcule las transformadas de Fourier de `$f_1(x)=u(x)e^{-bx}$` con `$b>0.$`