Convolución y Transformada de Laplace

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# Convolución y Transformada de Laplace
]
.subtitle[
## Sesión 16
]
.author[
### Alejandro Ucan
]
.date[
### 2023-10-18
]

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# Objetivos:

* Introducir el espacio de funciones de decrecimiento rápido. <br/><br/>
 * Definir la convolución de dos funciones. <br/><br/>
 * Introducir el concepto de Transformada Integral. <br/><br/>
 * Introducir el concepto de Transformada de Laplace.

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# ¿Qué funciones vamos a tratar?

> __Definición:__ una función `$f:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$` se dice que __decrece rápidamente__ si para todo `$p\in \mathbb{N}$` se cumple `$$\lim_{|x|\to\infty}|x^pf(x)|=0.$$`

__Ejemplo:__ la función `$f(x)=e^{|x|}$` decrece rápidamente y también `$f(x)=e^{|x|}\sin(x)$`.

> __Definición:__ denotaremos por `$\mathscr{S}(\mathbb{R})$` al espacio vectorial de las funciones `$f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$` tales que :
  * `$f$` decrece rápidamente.
  * Todas sus derivadas también decrecen rápidamente (infinitas derivadas)

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## Propiedades de las funciones que decrecen rapidamente.

> __Teorema:__ Si `$f\in\mathscr{S}(\mathbb{R})$` entonces, `$\mathscr{F}(f)$` también pertenece a `$\mathscr{S}(\mathbb{R}).$`

> __Teorema:__ La transformada de Fourier `$\mathscr{F}$` es un mapeo biyectivo en `$\mathscr{S}(\mathbb{R}).$` Más aún la función `$g(x)=e^{-\pi x^2}$` es un punto fijo de `$\mathscr{F}.$`

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# Convolución de funciones

> __Definición:__ La __convolución__ de dos funciones `$f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$` se define como la función `$f\ast g$` (si existe) definida por `$$f\ast g=\int_{-\infty}^\infty f(x)g(x-t)dt$$`

__Intuitivamente:__ 
  * la convolución de dos funciones me _regulariza_ una función mediante promedios. 
  * la convolución nos proporciona la porción de intersección entre una función y otra que esta siendo desplazada.
  
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## Ejemplo Visual

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## Otro Ejemplo visual

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## Aplicaciones

.pull-left[* Procesamiento digital de Imágenes: en filtros para la detección de "edges". 
* Óptica: el bokeh es una convolución entre la imágen nítida y una función lente.
* En física (Espectroscopía): la función de Voigt es una convolución entre dos distribuciones de probabilidad.
* En probabilidad: la distribución de una suma de variables aleatorias independientes es la convolución de sus distribuciones.
* En machine learning: redes neuronales convolucionadas.]

.pull-right[
<img src="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d7/Halftone%2C_Gaussian_Blur.jpg" width="50%" />
]

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# Transformadas Integrales

### Motivación:

Problemas dificiles de resolver en su presentación original, que transformados pueden ser mas sencillos. La _tranformada integral_ mapea una ecuación en su "dominio" original en otro "dominio" de tal manera que la manipulación de la ecuación sea más sencilla que originalmente y la solución puede ser reconvertirse al dominio original.

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## Formalismo

> __Definición:__ una transformada integral es una mapeo `$T$` entre espacios de funciones dada por `$$T(f)(u)=\int_{t_1}^{t_2}f(t)K(t,u)dt,$$` la función `$K(t,u)$` se le conoce como __kernel__ o __núcleo__ de la transformación. <br/><br/> Es posible definir una transformada inversa: `$$T^{-1}(g)(t)=\int_{u_1}^{u_2} g(u)K^{-1}(t,u)du.$$`

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### Ejemplos:

> La transformada de Fourier `$\mathscr{F}$` es una transformada integral del espacio de funciones `$L^1(\mathbb{R}).$` <br/><br/> El kernel de `$\mathscr{F}$` es `$$K(t,u)=\exp(-2i\pi u t).$$`

> La transformada de Hartley `$\mathscr{H}$` es una transformada integral del espacio de funciones reales a funciones reales. <br/><br/> Su kernel es `$$K(t,u)=\frac{\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt{2\pi}}.$$` Se relaciona con la transformada de Fourier de la siguiente manera:

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# La transformada de Laplace

> __Definición:__ la _transformada de Laplace definida para funciones `$f(t)$` con `$t\geq 0$` es la función `$F(s)$` definida por `$$F(s)=\int_0^\infty f(t)\exp(-st)dt$$` donde `$s$` es un número complejo que define la frecuencia. <br/><br/> La notación usual para la transformada de Laplace es `$\mathcal{L}\{f\}=F.$`

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### Ejemplo:

> Calcule las transformadas de Laplace de las funciones `$f(t)=1$` y `$f(t)=t.$`

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# Transformadas de Laplace comunes:

La siguiente muestra una lista de transformadas de Laplace más comunes:

* `$\mathcal{L}\left\{t^n\right\}=\frac{n!}{s^{n+1}}$` 
  * `$\mathcal{L}\left\{e^{at}\right\}=\frac{1}{s-a}$`
  * `$\mathcal{L}\left\{\sin(kt)\right\}=\frac{k}{s^2+k^2}$`
  * `$\mathcal{L}\left\{\cos(kt)\right\}=\frac{s}{s^2+k^2}$`
  * `$\mathcal{L}\left\{\sinh(kt)\right\}=\frac{k}{s^2-k^2}$`
  * `$\mathcal{L}\left\{\cos(kt)\right\}=\frac{s}{s^2-k^2}$`
  
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### Ejemplo:

> ¿Quién sería el la función de la que provienen las siguientes transformadas de Laplace? 
  * `$F(s)=\frac{1}{s^5}$`
  * `$F(s)=\frac{1}{s^2+7}$`
  * `$F(s)=\frac{s^2+6s+9}{(s-1)(s-2)(s+4)}$`
  
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# Transformación de Derivadas:

> __Teorema:__ Si existe `$\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)$` entonces se cumple `$$\mathcal{L}\{f'(t)\}=sF(s)-f(0)$$` `$$\mathcal{L}\{f^(n)(t)\}=s^nF(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f'(0)-\cdots- f^{(n-1)}(0).$$`

### Ejemplo:

Encuentra la solución de la ecuación `$$y'+3y=13\sin(2t)\quad y(0)=6$$`

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### Ejemplo:

Encuentre la solución a la ecuación `$$y''-3y'+2y=e^{-4t},\quad y(0)=1,\quad y'(0)=5.$$`

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### Actividad en clase:

> Utilizando la definición de la transformada de Laplace, comprueba que se cumple: <br/><br/>
  * `$\mathcal{L}\{f\}=\frac{2}{s^3}$` para `$f(t)=t^2.$` <br/><br/>
  * `$\mathcal{L}\{f\}=\frac{1}{s-a}$` para `$f(t)=e^{at}.$` <br/><br/>
  * `$\mathcal{L}\{f\}=\frac{s}{s^2+b^2}$` para `$f(t)=\cos(bt).$` <br/><br/>
  * `$\mathcal{L}\{f\}=\frac{s-a}{(s-a)^2+b^2}$` para `$f(t)=e^{at}\cos(bt).$`