Diferenciación compleja

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# Diferenciación compleja
]
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## Sesión 18
]
.author[
### Alejandro Ucan
]
.date[
### 2023-10-29
]

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# Objetivos:

* Conocer la definición de derivada (compleja). 
 * Deducir las ecuaciones de Cauchy-Riemann y sus implicaciones diferenciables. 
 * Definir la propiedad de holomorficidad en las funciones y otras propiedades relacionadas a la derivación compleja.

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# Recordemos

> __Definición:__ Una función compleja es una regla de asignación `$f$` definida en un dominio `$D$` y uni-valuada (en caso que existan multiples valores tomaremos el de la rama principal). Más aún, existen dos funciones reales `$u(x,y)$` y `$v(x,y)$` tales que `$$f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y).$$`
 
__Definición:__ Dada una función compleja `$f=u+iv,$` diremos que el límite de `$f$` cuando `$z=x+iy$` tiende a `$z_0=x_0+iy_0$` es `$L=x_L+iy_L,$` `$$\lim_{z\to z_0}f=L$$` si y sólo si `$$\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}u=x_L\mbox{ y }\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}v=y_L.$$` Diremos además que la función es continua si además `$x_L=u(x_0,y_0)$` y `$y_L=v(x_0,y_0).$`

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# Diferenciación (compleja)

> Sea `$f$` una función y `$z_0$` un punto interior de su dominio. Definimos la _derivada_ de `$f$` en `$z_0,$` como el límite: `$$\frac{d\,f}{dz}=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}.$$` Si el límite existe, entonces diremos que `$f$` es _diferenciable_ en `$z_0.$`

__Ejemplo:__ Supongamos que `$f(z)=z^2.$` Veamos que `$f$` es diferenciable en todo `$\mathbb{C}.$` Escribiendo `$\Delta z= z_0-z$` y `$\Delta w=f(z+\Delta z)-f(z),$` notemos que `$$f'(z)=\lim_{\Delta z\to 0}\frac{\Delta w}{\Delta z}=\lim_{\Delta z\to 0}\frac{(z+\Delta z)^2-z^2}{\Delta z}=\lim_{\Delta z\to 0}(2z+\Delta z)=2z.$$`

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## Continuidad no implica diferenciabilidad.

__Ejemplo:__ ¿Qué pasa con la función `$f(z)=|z|^2$` en `$z=0$`? ¿Es diferenciable? ¿Es diferenciable en `$z\neq 0$`?

$$ \frac{\Delta w}{\Delta z}=\frac{(z+\Delta z)(\overline{z}+\overline{\Delta z})-z\overline{z}}{\Delta z}=\overline{z}+\overline{\Delta z}+z\frac{\overline{\Delta z}}{\Delta z},$$
 * Cuando `$z=0,$` `$f'(0)=0.$` 
 * Cuando `$z\neq 0,$` la derivada no existe.
 * Si `$z\to 0$` por valores reales `$\frac{\Delta w}{\Delta z}=z+\overline{z}.$` 
 * Si `$z\to 0$` por valores imaginarios, `$\frac{\Delta w}{\Delta z}=\overline{z}-z.$`
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## Reglas de Derivación:

> __Teorema:__ Supongamos que `$f$` y `$g$` son funciones diferenciables, entonces: 
 * `$\frac{d}{dz}c=0$` donde `$c\in \mathbb{C}.$` 
 * `$\frac{d}{dz}[c f(z)]= c\frac{df}{dz}.$` 
 * `$\frac{d}{dz}[f(z)+g(z)]=\frac{df}{dz}+\frac{dg}{dz}.$` 
 * `$\frac{d}{dz}[f(z)g(z)]=g\cdot\frac{df}{z}+f\cdot\frac{dg}{dz}.$` 
 * Si `$g(z)\neq 0$`, `$\frac{d}{dz}\left[\frac{f(z)}{g(z)}\right]=\frac{g(z)f'(z)-f(z)g'(z)}{[g(z)]^2}.$` 
 * Para cada `$n\in \mathbb{N},$` `$\frac{d}{dz}z^n=n z^{n-1}.$` 
 * `$\frac{d}{dz}[f(g(z))]=f'(g(z))\cdot g'(z).$`
 
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## Reglas de Derivación:

> __Ejemplo:__ Calcule la derivada de las siguientes funciónes:
  * `$f(z)=3z^2+3z-2+i,$`
  * `$f(z)=(z-2)(3iz^2+2+i),$`
  * `$f(z)=\frac{3z+i}{-2z-1-i},$`
  * `$f(z)=(2z^2+i)^5.$`

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# Ecuaciones de Cauchy-Riemann

Supongamos que localmente, `$$f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y).$$` Entonces, `$\Delta z=\Delta x+i\Delta y,$` y la el cociente de incrementos se ve `$$\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}=\frac{u(x+\Delta x,y+\Delta y)-u(x,y)+i[v(x+\Delta x,y+\Delta y)-v(x,y)]}{\Delta x+i \Delta y}$$`

* Si tomo la dirección real, `$\Delta z=\Delta x+i0,$` entonces `$$f'(z)=\frac{\partial}{\partial x}u(x,y)+ i \frac{\partial}{\partial x}v(x,y).$$`

* Si tomo la dirección imaginaria, `$\Delta z= 0 +i\Delta y,$` entonces `$$f'(z)=\frac{\partial }{\partial y}v(x,y)-i\frac{\partial }{\partial y}u(x,y).$$`

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# Ecuaciones de Cauchy-Riemann

> De lo anterior, si la función es diferenciable ambas expresiones deben ser las mismas (por la unicidad del límite). Así que se cumple `$$\frac{\partial u}{\partial x}(x,y) =\frac{\partial v }{\partial y}(x,y) \mbox{ y } \frac{\partial v}{\partial x}(x,y)=-\frac{\partial u}{\partial y}(x,y).$$` Ecuaciones conocidas como __Ecuaciones de Cauchy-Riemann.__

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## Condiciones necesarias y suficientes de diferenciabilidad

> __Teorema:__ Supongamos que `$f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$` en una vecindad de `$z_0.$` Entonces se cumple que:
* Si `$f'(z_0)$` existe, entonces las derivadas parciales de `$u$` y `$v$` satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann. 
* Si las derivadas parciales de `$u$` y `$v$` existen y son continuas en `$z_0,$` y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entonces `$f'(z_0)$` existe.

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### Ejemplos:

> Recordemos la función `$f(z)=|z|^2.$` En este caso `$|x+iy|^2=x^2+y^2+i0,$` por lo que `$u(x,y)=x^2+y^2$` y `$v(x,y)=0.$` Las ecuaciones de Cauchy-Riemann me dicen `$$2x=0\mbox{ y }2y=0$$` que se satisfacen unicamente cuando `$x=y=0.$` 
Esta es otra manera de demostrar que `$f$` no es diferenciable en `$z\neq 0.$`
 
Considere la función `$f(z)=\exp(z).$` ¿Para que dóminio de `$f$` se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann? ¿La exponencial es diferenciable?

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### Ejemplo:

> Compruebe que las siguientes funciones no son diferenciables:
  * `$f(z)=\overline{z}.$`
  * `$f(z)=z-\overline{z}.$`
  * `$f(z)=2x+ixy^2.$`
  * `$f(z)=e^xe^{iy}.$`

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# Funciones Holomorfas

> __Definición:__ Una función `$f$` es _holomorfa_ en `$z_0$` si su derivada existe en una vecindad de `$z_0$` y no solo en `$z_0,$` y es holomorfa en una región `$R$` si lo es para cada uno de los puntos de `$R.$`

__Contraejemplo:__ La función `$f(z)=|z|^2$` no es holomorfa pues `$f'$` sólo existe en `$z=0.$`

__Ejemplo:__ Todo polinomio es holomorfo en cualquier region de `$\mathbb{C}.$` En particular para todo `$\mathbb{C},$` por lo que se dice que los polinomios son funciones _enteras._

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### Ejemplo:

> Compruebe que la función `$f\left(re^{i\theta}\right)=\sqrt{r}e^{\frac{i\theta}{2}},$` es holomorfa para `$r>0$` y `$-\pi<\theta<\pi.$`

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## Derivadas de Funciones Elementales:

> Recordemos las funciones elementales: exponencial, seno, cose y logaritmos complejos. A continuación introduciremos las reglas de derivación compleja.
 
 * `$\frac{d \exp(z)}{dz}=\exp(z)$`
 * `$\frac{d \sin(z)}{dz}=\cos(z)$`
 * `$\frac{d\cos(z)}{dz}=-\sin(z)$`
 * `$\frac{d\log(z)}{dz}=\frac{1}{z}$`
 * `$\frac{d w^z}{dz}=w^z\log(w)$`
 
 
 __Ejemplo:__ Use las reglas anteriores para calcular la derivada de `$\tan(z).$`