Integración compleja

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.title[
# Integración compleja
]
.subtitle[
## Sesión 19
]
.author[
### Alejandro Ucan
]
.date[
### 2023-11-05
]

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# Objetivos:

* Conocer la definición de la integral (compleja). <br/><br/>
 * Deducir Teorema de Cauchy-Goursat. <br/><br/>
 * Definir la fórmula de Cauchy para el calculo de integrales. <br/><br/>

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# Integrales Definidas

> Consideremos una función compleja de variable real, es decir, una función `$$f(t):U(t)+iV(t),\quad a\leq t\leq b,$$` además pediremos que `$U$` y `$V$` sean funciones continuas a trozos. Podemos definir la integral definida de `$f$` de `$a$` a a `$b$` como: `$$\int_a^b f(t)dt=\int_a^bU(t)dt+i\int_a^bV(t)dt.$$`

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## Propiedades

Además cumple que `$$\int_a^b\gamma f(t)dt=\gamma \int_a^b f(t)dt$$` y además `$$\left| \int_a^b f(t)dt\right|\leq \int_a^b |f(t)|dt.$$`

### Ejemplo:

> Calcule: `$\int_0^{\pi/4}e^{it}dt,$`

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# Contornos:

> __Definición:__ un arco `$C$` es un conjunto de puntos `$z=(x,y)=x+iy$` en el plano complejo tal que `$$x=x(t)\quad y=y(t).$$` <br/><br/> Diremos que `$C$` es un __arco simple__ o __curva de Jordan__ si no se intersecta consigo mismo. Si además, `$z(a)=z(b)$` entonces diremos que la curva es __cerrada.__
<br/><br/> 
Diremos que las funciones que definen un arco `$C$` es __suave__, si `$z'(t)$` existe, es continua en `$a\leq t\leq b,$` y `$z'(t)$` nunca es cero. <br/><br/>
Un __contorno__ es un arco a trozos conformado por un número finito de arcos suaves y que se conectan final con inicio.

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### Ejemplos y Contraejemplos

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# Integrales de Linea (compleja)

> Consideremos un contorno `$C$` _parametrizada_ por la ecuación `$z(t)=x(t)+iy(t)$` con `$a\leq t\leq b.$` Para una función `$f(z)=u(x,y)+iv(x,y),$` notemos que `$$f(z(t))=u(x(t),y(t))+iv(x(t),y(t))\quad \mbox{es continua a trozos.}$$` Entonces definimos la integral de línea de `$f$` en el contorno `$C$` como `$$\int_C f(z)dz=\int_a^b f[z(t)]z'(t)dt.$$`

### Ejemplo:

Calculemos `$\int_{C_1}z^2dz$` donde `$C_1$` es el segmento de línea que une `$z=0$` con `$z=2+i.$` Calculemos `$\int_{C_2}z^2dz$` donde `$C_2$` es el contorno que une `$z=0$` con `$z=2$` y `$z=2$` con `$z=2+i.$`

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### Ejemplo:

Calcule la integral de `$f(z)=\overline{z}$` en el circulo unitario.

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# El Teorema de Cauchy-Goursat

## Recordemos:

Para funciones de variable real, si `$P(x,y)$` y `$Q(x,y)$` son funciones continuas con primeras derivadas continuas en una región cerrada `$R$` y cuyo contorno (frontera) es una curva de Jordan orientada en la forma positiva. Entonces por el __Teorema de Green__ se cumple `$$\int_C (P,Q)dC=\int\int_R (Q_x-P_y)dA.$$`

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## Complexificando:

Consideremos una función `$f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$` y un contorno `$C,$` simbólicamente esto se ve `$$f(x+iy)dz=(u+iv)(dx+idy)=(udx-vdy)+i(vdx+udy).$$`

Notemos que:
`$$\int_c udx-vdy=-\int\int_R (v_x+u_y)dA$$`
`$$\int_c vdx+udy=\int\int_R (u_x-v_y)dA$$`
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## El resultado:

> __Teorema:__ Si `$f$` es una función holomorfa en un dominio acotado por un contorno simple cerrado `$C,$` entonces `$$\int_C f(z)dz=0.$$`

<br/><br/>
> __Teorema:__ Sea `$R$` une región delimitada por un contorno simple `$C$` y contornos simples intereriores `$C_j,$` con `$j=1,\cdots, n.$` Sea `$B$` la unión de todos estos contornos, orientada de tal forma que los puntos de `$R$` se encuentren a la izquiera de `$B.$` Entonces, si `$f$` es holomorfa en `$R$` se cumple `$$\int_B f(z)dz=0.$$`

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### Ejemplo:

> Determine el dominio de holomorficidad de `$f$` y aplique el teorema de Cauchy-Goursat para probar que `$\int_C f(z)dz=0$` cuando `$C$` es al círculo `$|z|=1$` para las siguientes funciones: <br/><br/>
 * `$f(z)=\frac{z^2}{z-3},$` <br/>
 * `$f(z)=ze^{-z},$` <br/><br/>
 * `$f(z)=\log(z+2).$`

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# La fórmula Integral de Cauchy

> __Teorema:__ Sea `$f$` una función holomorfa dentro y en un contorno simple cerrada `$C,$` orientadas positivamente. Si `$z_0$` es un punto interior a `$C,$` entonces `$$f(z_0)=\frac{1}{2\pi i} \int_C \frac{f(z)}{z-z_0}dz.$$`

### Ejemplo:

Calcula `$\displaystyle{\int_C \frac{zdz}{(9-z^2)(z+i)}=\frac{\pi}{5}},$` donde `$C$` es el circulo `$|z|=2.$`
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### Ejemplos:

Utiliza la fórmula integral de Cauchy para calcular las siguientes integrales donde `$C$` es el cuadrado con vertices en `$z=\pm 2\pm 2i.$`

* `$\displaystyle{\int_C\frac{e^{-z}dz}{z-\frac{i\pi}{2}}}$`
  * `$\displaystyle{\int_C \frac{\cos(z)}{z(z^2+8)}}$`
  * `$\displaystyle{\int_C \frac{zdz}{2z+1}}$`