Series de funciones complejas

class: center, middle, inverse, title-slide

.title[
# Series de funciones complejas
]
.subtitle[
## Sesión 20
]
.author[
### Alejandro Ucan
]
.date[
### 2023-11-05
]

---

<div>
<style type="text/css">.xaringan-extra-logo {
width: 110px;
height: 128px;
z-index: 0;
background-image: url(https://github.com/alxcn/TecLogoEIC/blob/9562a53875418e749a296c85808a19c85fc4be74/IngenieriaCiencias_Horizontal_RGB.png);
background-size: contain;
background-repeat: no-repeat;
position: absolute;
top:2em;right:2em;
}
</style>
<script>(function () {
  let tries = 0
  function addLogo () {
    if (typeof slideshow === 'undefined') {
      tries += 1
      if (tries < 10) {
        setTimeout(addLogo, 100)
      }
    } else {
      document.querySelectorAll('.remark-slide-content:not(.title-slide):not(.inverse):not(.hide_logo)')
        .forEach(function (slide) {
          const logo = document.createElement('div')
          logo.classList = 'xaringan-extra-logo'
          logo.href = null
          slide.appendChild(logo)
        })
    }
  }
  document.addEventListener('DOMContentLoaded', addLogo)
})()</script>
</div>
# Objetivos:

* Introducir la fórmula integral de Cauchy. <br/><br/>
 * Introducir el concepto de Series y su convergencia. <br/><br/>
 * Definir las series de funciones asociadas a una función compleja  (Taylor y Laurent). <br/><br/>

---
# La fórmula Integral de Cauchy

> __Teorema:__ Sea `$f$` una función holomorfa dentro y en un contorno simple cerrada `$C,$` orientadas positivamente. Si `$z_0$` es un punto interior a `$C,$` entonces `$$f(z_0)=\frac{1}{2\pi i} \int_C \frac{f(z)}{z-z_0}dz.$$`

### Ejemplo:

Calcula `$\displaystyle{\int_C \frac{zdz}{(9-z^2)(z+i)}=\frac{\pi}{5}},$` donde `$C$` es el circulo `$|z|=2.$`
---
# Sucesiones y Series

> __Definición:__ una sucesión es una función `$f:\mathbb{N}\to \mathbb{C}$` que asigna a cada natural un número complejo `$$n\mapsto z_n$$` y usualmente se denota como `$(z_n)$` como un vector con "infinitas" entradas.

### Ejemplos:

---
## Convergencia:

> __Definición:__ decimos que una sucesión `$(z_n)$` es __convergente__ si existe un complejo `$w$` que cumple con la siguiente propiedad `$$|z_n-w|<\varepsilon \mbox{ para todo} n\geq N.$$` Al complejo `$w$` se le conoce como __límite__ de la sucesión. <br/><br/>
Si no existe el límite, decimos que la sucesión es __divergente.__

---
## Ejemplos:

> Consideremos la función `$f(n)=1/n.$` Esta es convergente. Por lo contrario, la sucesión `$f(n)=n^2$` es divergente.

<br/><br/>
> __Teorema:__ Sea `$(z_n)$` convergente a `$z.$` Y consideremos que `$z_n=x_n+iy_n.$` Si `$(x_n)$` y `$(y_n)$` son convergentes a `$x$` y `$y$` respectivamente. Entonces, `$z=x+iy.$`

---
## Series

> __Definición:__ una __serie__ es una _sucesión_ particular definida por sumas, es decir, `$(S_n)$` donde `$$S_n=\sum_{j=1}^n z_n.$$`

### Ejemplo:

Consideremos la serie dada por la sumas parciales de la sucesión `$z_n=\frac{1}{2^n},$` es una serie convergente. Al igual que la serie dada por la suma de la sucesión `$z_n=i^n.$`

---
## Series de Potencias:

> __Definición:__ Una serie de potencias es una serie dada de la forma: `$$a_0+\sum_{n=1}^N a_n(z-z_0)^n.$$`

<br/><br/>
__Teorema:__ Sea `$f$` una función analítica en un disco `$C_0$` con centro `$z_0$` y radio `$r_0.$` Para un punto `$z\in C_0$` definimos `$$f(z)=f(z_0)+f'(z_0)(z-z_0)+\frac{f''(z_0)}{2!}(z-z_0)^2+\cdots+ \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n+\cdots$$`
y es convergente cuando `$|z-z_0|<r_0.$`

---
### Sketch de la prueba:

Por la fórmula integral de Cauchy, tenemos `$$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{C_1}\frac{f(s)ds}{s-z}.$$`

Notemos que `$$\frac{1}{s-z}=\left(\frac{1}{s-z_0}\right)\left(\frac{1}{1-\frac{z-z_0}{s-z_0}}\right)$$` y aplicando la identidad de Legendre `$$\frac{1}{s-z}=\left(\frac{1}{s-z_0}\right) \left(1+\frac{z-z_0}{s-z_0}+\cdots +\left(\frac{z-z_0}{s-z_0}\right)^{N-1}+\frac{1}{1-\frac{z-z_0}{s-z_0}}\left(\frac{z-z_0}{s-z_0}\right)^N\right)$$`

---
Lo anterior implica que `$$\frac{f(s)}{s-z}=\frac{f(s)}{s-z_0}+\frac{f(s)}{(s-z_0)^2}(z-z_0)+\cdots$$`

y además sabemos que `$$\frac{1}{2\pi i}\int_{C_1}\frac{f(s)ds}{(s-z_0)^{n+1}}=\frac{1}{n!}f^{(n)}(z_0).$$`

---
### Ejemplo:

Encuentre la expansión en serie de potencias de `$f(z)=\exp(z)$` al rededor de `$0.$`

---
### Ejemplo:

A partir de lo anterior, deduzca la serie de potencias de `$f(z)=\sin(z)$` al rededor de `$z=0.$`

---
### Ejemplo:

Calcula la expansión en series de la función `$f(z)=(1+z)^{-1}$` al rededor del cero.

---

## Series de Laurent

Supongamos que `$C_1$` y `$C_2$` son dos circulos concentricos a un punto `$z_0$` con radios `$r_1$` y `$r_2$` respectivamente.

> __Teorema:__ Si `$f$` es analítica en `$C_i$` y en el anillo que acotan, entonces en cada punto `$z$` en el dominio se tiene que `$$f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n + \sum_{n=1}^\infty \frac{b_n}{(z-z_n)^n},$$` donde `$$a_n=\frac{1}{2\pi i}\int_{C_1}\frac{f(s)ds}{(s-z_0)^{n+1}}$$` `$$b_n=\frac{1}{2\pi i}\int_{C_2} \frac{f(s)}{(s-z_0)^{-n+1}}.$$`