Residuos y el Teorema del Residuo

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# Residuos y el Teorema del Residuo
]
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## Sesión 21
]
.author[
### Alejandro Ucan
]
.date[
### 2023-11-12
]

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# Objetivos:

* Definir la serie de Laurent de una función (no analítica). <br/><br/>
 * Introducir el concepto de Residuo. <br/><br/>
 * Establecer el teorema del Residuo. <br/><br/>

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# Motivación

> Recordemos que el teorema de Cauchy-Goursat implica `$$\mbox{analítica}\Rightarrow \mbox{integral en un contorno es cero}.$$`

¿Podemos definir algo similar para funciones no-analíticas? Sí, si la función no es analítica para un número finito de puntos, entonces podemos relacionar la integral con algo que se conoce como __residuo.__

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# Puntos singulares

> __Definición:__ dada una función `$f$` decimos que un punto `$z_0$` se dice que es una __singularidad__ de `$f$` si `$f$` falla a ser analítica en algún punto de toda vecindad de `$z_0.$` <br/><br/> Diremos que la singularidad es __aislada,__ si para una vecindad de `$z_0$` `$f$` es analítica excepto en `$z_0.$`

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### Ejemplo:

> La función `$f(z)=1/z$` tiene una singularidad aislada en `$z=0.$` <br/><br/>
La función `$f(z)=\frac{z+1}{z^3(z^2+1)}$` tiene tres singularidades aisladas, una en `$z=0$` y las otras en `$z=\pm i.$` <br/><br/> 
Mientras que la función `$\log(z)$` tiene una singularidad en `$z=0$` que no es aislada. <br/><br/>
La función `$f(z)=\frac{1}{\sin(\pi/z)}$` tiene singularidades en `$z=1/n$` con `$n\in \mathbb{Z}$` y solo `$z=0$` es aislada.

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## Series de Laurent

Sean `$C_1$` y `$C_2$` dos círculos concéntricos en `$z_0$` de radios `$r_1$` y `$r_2.$`

> __Teorema:__ Si `$f$` es analítica en `$C_1$` y `$C_2,$` y también en la región anular acotada por `$C_1$` y `$C_2.$` Entonces para cada punto `$z$` en el anaillo, la función `$f(z)$` se puede expresar como  `$$\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n +\sum_{n=1}^\infty \frac{b_n}{(z-z_0)^n}$$` donde `$$a_n=\frac{1}{2\pi i}\int_{C_1} \frac{f(s)ds}{(s-z_0)^{n+1}}$$` `$$b_n=\frac{1}{2\pi i}\int_{C_2}\frac{f(s)ds}{(s-z_0)^{1-n}}.$$`

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### Ejemplo:

> La serie de Laurent de `$$\frac{\exp(z)}{z^2}=\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z}+\frac{1}{2}+\frac{z}{6}+\frac{z^2}{24}+\cdots$$`
<br/><br/>
`$$\exp\left(\frac{1}{z}\right)=1+\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n! z^n}.$$`

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## Residuos

Cuando `$z_0$` es un punto singular aislado, podemos aplicar las series de Laurent en un anillo `$0< |z-z_0| < r_1$` la función se ve como `$$f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n +\frac{b_1}{z-z_0}+\frac{b_2}{(z-z_0)^2}+\cdots$$`

> __Definición:__ al número `$$b_1=\frac{1}{2\pi i}\int_C f(z)dz$$` se les conoce como el __residuo__ de `$f$` en `$z_0.$`

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### Ejemplo:

> Calcule la integral `$$\int_C \frac{e^{-z}dz}{(z-1)^2}$$` donde `$C$` es el circulo `$|z|=2$` en el sentido positivo.

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### Ejemplo:

> Calcula la integral `$$\int_C \exp\left(\frac{1}{z^2}\right)dz$$` en el mismo contorno.

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# Teorema del Residuo

> __Teorema:__ Sea `$C$` un contorno cerrado donde `$f$` sea analítica excepto en un número finito de puntos singulares `$z_1,z_2,\cdots, z_n$` en el interior de `$C.$` Si `$B_1,B_2,\cdots,B_n$` son los residuos en cada punto, entonces `$$\int_C f(z)dz=2\pi i (B_1+\cdots+ B_n).$$`

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### Ejemplo:

> Calcula la integral `$$\int_C \frac{5z-2}{z(z-1)}dz$$` donde `$C$` es el circulo `$|z|=2.$`

Utilizaremos la serie de Taylor de `$$\frac{1}{z+1}=1-z+z^2-\cdots.$$`

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# Actividad

> * Encuentre el residuo en `$z=0$` de la función `$z\cos(1/z).$` ($-1/2$) <br/><br/>
* Encuentre el valor de la integral `$$\int_C \frac{dz}{z^3 (z+4)}$$` en:
  * `$|z|=2$` ( `$\frac{\pi i}{32}$` )
  * `$|z+2|=3$` ( `$0$` )
  * Encuentre el valor de la integral `$$\int_C \frac{(3z^2+2)dz}{(z-1) (z^2+9)}$$` en `$|z-2|=2$` ( `$2\pi i$` ).