Modelado y EDOs

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# Modelado y EDOs
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## Sesión 01
]
.author[
### Alejandro Ucan
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.date[
### 2023-08-05
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# Objetivos de la Sesión

* Introduciendo la teoría de Modelado. 
* Modelando con EDOs. 
* Definir EDOs.

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# ¿Qué es Modelar?

> __Definición:__ Un modelo es una representación (matemática) simplificada de un problema real. 
 1. Hipotésis clara donde se basa el problema (debe describir la relación entre las cantidades a estudiar). 
 1. Definir las variables y paramétros que intervienen en el problema. 
 1. Use las hipótesis para generar ecuaciones que relacionen las variables y paramétros.

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## Un problema de población

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> __Hipótesis:__ La velocidad de crecimiento de la población es proporcional a la cantidad de elementos de la población. 
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__Variables y parámetros:__ 
 * `$P(t)$`: Población en el tiempo `$t.$` 
 * `$k$`: constante de proporcionalidad. 
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__Ecuación:__ Recordemos que la velocidad de crecimiento es una _razón de cambio_: `$$\frac{dP}{dt}=kP.$$`

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## ¿Qué pasa si cambiamos mis hipótesis?

> __Hipótesis 1:__ Si la población es pequeña entonces la velocidad de crecimiento es proporcional a los elementos de la población. Pero si la población es demasiado grande (para ser soportada), la población comenzará a disminuir. 
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__Variables y parámetros:__ 
 * `$P(t)$`: Población en el tiempo `$t.$` 
 * `$k$`: constante de proporcionalidad. 
 * `$N$`: cota de la población. 
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__Ecuación:__
 $$ \frac{dP}{dt}=kP(1-\frac{P}{N}).$$

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# ¿Qué es una EDO?

> __Definición:__ Una _ecuación diferencial ordinaria_ es una ecuación cuya incognita es una función y que involucra derivadas (de la incognita) y la variable independiente. `$$f(y^{(n)},y^{(n-1)},\cdots, y',y,x)=0$$` 
 * La variable independiente es la variable respecto a la cual se derivan las funciones. 
 * La variable dependiente es la función que se desea encontrar. 
 * El orden de la ecuación es el orden de la derivada más alta que aparece en la ecuación. 
 * La EDO es lineal si las funciones y sus derivadas aparecen elevadas a la primera potencia y no se multiplican entre sí. 
 * La EDO no es homogénea si la EDO cuenta con un término independiente (función de la variable independiente) diferente de cero.

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## Ejemplos de EDO's

* __Genéricas:__ `$yy'-\sin(x)=3y,$` `$y''-2y+\sqrt{3x}=0,$` etc. 
* __Homogéneas:__ `$y'+y=0,$` `$y'y=0,$` `$\sqrt{y''-3xy}=0,$` etc. 
* __Lineales:__ `$y'+y=3x,$` `$3y'''+2y''-xy=0,$` etc.

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## Solución de una EDO.

> __Definición:__ Decimos que `$f$` es una función definida en cierto intervalo `$I,$` con derivadas continuas en `$I$` (tantas derivadas como el orden de la ecuación) es una solución de una ecuación diferencial si cuando sustituimos la función obtenemos una identidad.
 
__Ejemplo:__ La función `$f(x)=e^x$` definida en `$\mathbb{R},$` es una solución de la EDO `$$y'-y=0.$$` Veamos, `$f'(x)=e^x$` y si `$y=f(x),$` entonces `$$y'-y=e^x-e^x=0.$$`

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## Curva Solución

> __Definición:__ la gráfica de una función solución a una EDO se conoce como curva solución, notemos que la curva solución puede diferir de la gráfica de la función dado que la curva solución __depende del intervalo de definición de la solución.__
 
__Ejemplo:__ Consideremos la ecuación `$xy'+y=0.$` La función `$y=f(x)=1/x$` es una solución, pero recordemos que `$f(x)$` no es diferenciable en `$x=0,$` por lo que debemos definir que intervalo tomaremos, si `$(-\infty,0)$` o `$(0,\infty).$`

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### Soluciones implícitas.

> __Definición:__ A veces las EDO pueden satisfacerse por una relación `$G(x,y)$` (ecuación que involucra `$x$` y `$y$`), pero siempre con la premisa que hay una función que satisface esta relación que se comportará como la solución de la EDO.
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__Ejemplo:__ La relación `$x^2+y^2=k^2$` es una solución de la ecuación `$yy'+x=0.$` Y las funciones asociadas son `$f(x)=\sqrt{k^2-x^2}$` y `$f(x)=-\sqrt{k^2-x^2}$` en sus respectivos intervalos de definición.

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# Crecimiento y Decaimiento

> __Hipótesis:__ en estos problemas la hipótesis central es que la velocidad de cambio de cierta cantidad está en proporción a su población. 
 * Si la constante de proporción es positiva, entonces decimos que es _crecimiento._ 
 * Si la constante de proporción es negativa, entonces decimos que es _decaimiento._

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La EDO que lo modela es `$$\frac{dP}{dt}=kP.$$`

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### Problemas de Temperatura

#### Ley de Newton para el enfriamento/calentamiento.

> __Hipótesis:__ La razón de cambio de la temperatura que experimenta un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura de medio en el que se encuentra. 
$$ \frac{dT}{dt}=k(T-T_m).$$

__Ejemplo:__ La temperatura de unos chilaquiles Tec recien servidos es de `$90^\circ C.$` Si la temperatura en la cafetería es de `$22^\circ C.$` Si despues de 2 minutos la temperatura de mis chilaquiles es de `$80^\circ C.$` ¿Qué función modela la temperatura de mis chilaquiles?

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### Problemas de Mezclas

__Hipótesis:__ En un de tanque con `$N$` litros de agua mezclada con un agente (sal, azúcar, etc.). Se considera lo siguiente: 
 * La cantidad que entra y sale del tanque es siempre la misma. 
 * La concentración de la mezcla es uniforme en todo el tanque. 
 * El agua mezclada por el tubo `$A$` que entra a una razón de `$a$` litros por minuto con una mezcla de `$k$` unidades de agente por litro. 
 * El agua mezclada sale por el tubo `$B$` a una razón de `$b$` galones por minuto.

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  `$$\frac{d S}{dt}=ak-b\frac{S}{N}.$$`
  
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##### Ejemplo:

> Un tanque con 100lts de agua mezclada con azúcar con una concentración uniforme. De la tubería `$A$` ingresan 5lts por minuto de agua azucarada con 4 porciones de azucar por litro. Y de la tubería `$B$` sale el agua a una razón de 3lts por minuto.