Análisis Cualitativo de EDOs

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# Análisis Cualitativo de EDOs
]
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## Sesión 02
]
.author[
### Alejandro Ucan
]
.date[
### 2023-08-05
]

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# Objetivos de la Sesión

* Construir el campo de pendientes para una EDO. <br/><br/>
* Conocer las curvas solución y su clasificación. <br/><br/>
* Inferir desde la EDO sin resolverla. <br/><br/>

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# Campo de Pendientes

Consideremos la siguiente EDO `$y'=f(x,y).$`
--

> __Definición:__ El _campo de pendientes_ de la EDO `$y'=f(x,y)$` se construye con una representación de una recta con pendiente `$f(x,y)$` en cada punto `$(x,y).$` <br/>

##### Ejemplo:
Consideremos la EDO `$y'=x+y.$` 
![slope-field](slope_field_1.png)
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##### Ejemplo:

> Consideremos las EDOs `$y'=2$` 
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![slope-field](slope_field_2.png)

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> Consideremos las EDOs `$y'=-x$` 
--
![slope-field](slope_field_3.png)
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# Curvas solución

> Consideremos la EDO `$y'=4y(1-y),$` y estudiemos su campo de pendientes:
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![slope-field](slope_field_4.png)

> Las curvas solución son las curvas que siguen la dirección de las pendientes del campo de pendientes.

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## Tipos de Curvas Solución:

> __Definición:__ Sea `$y=f(x,y)$` una EDO y `$c$` una curva solución. Diremos que la curva es un _equilibrio_ si `$y(t)$` es una solución constante de la EDO. La curva solución es _estable_ si con el tiempo se acerca a un equilibrio, y es _inestable_ si se aleja de un equilibrio. <br/><br/>

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##### ¿Cuántos equilibrios tiene la EDO `$y'=4y(1-y)$`?

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##### Ejemplo:

> Supongamos que tenemos la EDO de mezclas `$$S'=\frac{2000-3S}{100}.$$` Analicemos sus posibles curvas solución: