Separación de Variables

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# Separación de Variables
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## Sesión 03
]
.author[
### Alejandro Ucan
]
.date[
### 2023-08-13
]

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# Objetivos de la Sesión

* Determinar cuándo una EDO es separable. 
* Aplicar el método de Separación de Variables. 
* Describir la solución de una EDO.

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# EDOs Separables

> __Definición:__ Sea `$y'=f(y,x)$` una EDO de primer orden. Si existe una función `$g(y)$` y una función `$h(x)$` tales que `$y'=g(y)h(x)$`, entonces la EDO es separable.
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* __Ejemplo:__ La EDO `$y'=y^2\cos(x)$` es separable, ya que `$y'=g(y)h(x)$`, donde `$g(y)=y^2$` y `$h(x)=\cos(x)$`. 
* __Ejemplo:__ La EDO `$y'=y^2\cos(x)+x$` no es separable, ya que no se puede escribir como `$y'=g(y)h(x)$`.

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## ¿Cómo determinar si mi EDO es separable?

* Escribe la EDO de la forma `$y'=f(y,x)$`. 
* Determina si la función `$f(y,x)$` se puede factorizar. 
* Si en la función `$f(y,x)$` hay potencias, exponenciales o logaritmos, recuerda que estos se separan como productos. 
* Funciones trigonométricas es muy dificil que tengan propiedades de separación de productos.

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## ¿Cómo resolver una EDO separable?

> __Método:__ Sea `$y'=f(y,x)$` una EDO separable donde `$f(y,x)=g(y)h(x)$`. Entonces, la solución de la EDO es: 
Primero suponemos (por abuso de lenguaje) que `$y'=\frac{dy}{dx}$` es una fracción y la separamos como `$$\frac{dy}{g(y)}=h(x)dx$$` 
Luego integramos ambos lados de la igualdad 
`$$\int\frac{dy}{g(y)}=\int h(x)dx+C$$`

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##### Ejemplo 1
 
Resuelve la EDO `$y'=y^2\cos(x).$`

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Notemos que es separable, y se separa así `$$\frac{dy}{y^2}=\cos(x)dx.$$` 
La integral del lado izquierdo es `$\frac{-1}{y}$` y del lado derecho es `$\sin(x)+C$`. Por lo que obtenemos que `$$\frac{-1}{y}=sin(x)+C.$$` Despejando `$y$` obtenemos que `$$y=\frac{-1}{\sin(x)+C}$$` definida para `$x\in\mathbb{R}$` tal que `$\sin(x)+C\neq 0.$`

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##### Ejemplo 2
 
Resuelve la EDO `$y'=e^{x-y}.$`

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Notemos que es separable, y se separa así `$$e^ydy=e^xdx.$$` La integral del lado izquierdo es `$e^y$` y del lado derecho es `$e^x+C$`. Por lo que obtenemos que `$$e^y=e^x+C.$$` Despejando `$y$` obtenemos que `$$y=\ln(e^x+C)$$` definida para todo `$x\in\mathbb{R}.$`

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##### Ejemplo 3
 
Resuelve la EDO `$y'=\ln(3x-2y).$`

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Notemos que es separable, y se separa así `$$\ln(2y)dy=\ln(3x)dx.$$` La integral del lado izquierdo es `$y\ln(2y)-y$` y del lado derecho es `$x\ln(3x)-x+C$`. Por lo que obtenemos que `$$y\ln(2y)-y=x\ln(3x)-x+C.$$` Lamentablemente no podemos despejar esta ecuación para `$y,$` por lo que mi solución es implícita.

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# Problemas de Valores Inciales

__Recordemos:__ La solución a una EDO es una _familia_ de funciones que satisfacen la EDO. Si queremos particularizar la solución necesitamos de una condición adicional.

> __Definición:__ Dada una EDO `$f(y',y,x)=0$` una condición inicial es una ecuación de la forma `$y(x_0)=y_0$` donde `$x_0$` y `$y_0$` son números reales.

> __Definición:__ Un problema de valores iniciales (PVI) es una EDO junto con una condición inicial.

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## ¿Cómo resolver un PVI?

Resuelvo mi EDO con el método adecuado, y luego aplico la condición inicial para encontrar la solución particular. 
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##### Ejemplo 1
Consideremos la EDO `$y'=y^2\cos(x)$` con la condición inicial `$y(0)=1.$` Habíamos visto que la solución a la EDO es `$y=\frac{1}{\sin(x)+C}$` definida para `$x\in\mathbb{R}$` tal que `$\sin(x)+C\neq 0.$` Aplicando la condición inicial obtenemos que `$1=\frac{1}{\sin(0)+C}=\frac{1}{C+0}=\frac{1}{C}.$` Por lo que `$C=1$` y la solución particular es `$y=\frac{1}{\sin(x)+1}.$`

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##### Ejemplo 2

Consideremos la EDO `$y'=\frac{t+1}{ty+t}$` con `$y(1)=1.$` 
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* Primero notemos que la EDO es separable, y se separa así `$$(y+1)dy=\frac{(t+1)dt}{t}.$$` 
* Integrando ambos lados obtenemos: `$$\frac{y^2}{2}+y=\ln(t)+t+C.$$` 
* Aplicando la condición inicial obtenemos que `$$\frac{1}{2}+1=\ln(1)+1+C$$`
* Por lo que `$C=\frac{1}{2}$` y la solución particular es `$$\frac{y^2}{2}+y=\ln(t)+t+\frac{1}{2}.$$`

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##### Ejemplo 3

Consideremos la EDO logistica de crecimiento poblacional `$y'=0.1y(1-\frac{y}{1000})$` con `$y(0)=100.$` 
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* Primero notemos que la EDO es separable, y se separa así `$$\frac{dy}{y(1-\frac{y}{1000})}=0.1dt.$$`
* Integrando ambos lados obtenemos (del lado izquierdo necesitamos sumas parciales): `$$1000(\ln(P)-\ln(1000-P))=0.1t+C$$`
* Aplicando la condición inicial obtenemos que `$$1000(\ln(100)-\ln(1000-100))=0.1(0)+C$$` 
* Por lo que `$C\approx -2197.22$` y la solución particular es `$$1000(\ln(P)-\ln(1000-P))=0.1t-2197.22.$$`

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# Actividad

1. El interés de una inversión crece a una razón de `$5\%$`. Si comenzamos con una inversión de $\$5000$. ¿Qué función describe mejor nuestra inversión. 
1. Una taza de chocolate se encuentra a 170 grados Fahrenheit. Si la taza se encuentra en una habitación a 70 grados Fahrenheit. ¿Cuánto tiempo tardará la taza en llegar a 100 grados Fahrenheit, si se enfría a una razón de 20 grados Fahrenheit por segundo? 
1. Una cubeta de 5 galones está llena de agua pura. Supongamos que queremos añadir sal a la cubeta en razón de 1/4 de libra por minuto. Además abrimos el grifo de manera que salgan 1/2 galón por minuto, y agregamos agua pura para mantener llena la cubeta. Si la solución se mezcla perfectamente. ¿Cuánta sal habrá en la cubeta después de 10 minutos?