EDOs exactas

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# EDOs exactas
]
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## Sesión 04
]
.author[
### Alejandro Ucan
]
.date[
### 2023-08-13
]

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# Objetivos de la Sesión

* Diferenciar las EDOs exactas. 
* Resolver las EDOs exactas por integración parcial.

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# EDOs exactas

> Supongamos que tenemos la siguiente EDO de orden 1: `$$M(x,y) + N(x,y) \frac{dy}{dx} = 0$$` 
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Podemos reescribir lo anterior a: `$$M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$$` 
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¿Qué puedes observar de la expresión anterior?

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# EDOs exactas

> __Definición:__ decimos que la EDO `$$M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$$` es exacta si existe una función `$u(x,y)$` tal que: `$$\frac{\partial u}{\partial x} = M(x,y)$$` y `$$\frac{\partial u}{\partial y} = N(x,y).$$`

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Esto implica que la EDO se ve como `$$du=M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0,$$` por lo que mi solución sería `$u(x,y)=c$`.
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## Ejemplos

Las siguientes EDOs son exactas: 
 1. `$$(2xy^2)dx + (2x^2y)dy = 0$$` 
 2. `$$-y\sin(xy)dx-x\sin(xy)dy=0$$` 
 3. $$ \frac{2dx}{x}+\frac{2dy}{y}=0$$ 
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## Criterio para determinar exactitud

> __Criterio:__ La EDO `$$M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$$` es exacta si y sólo si `$$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.$$`

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Veamos que el criterio aplica para las EDOs anteriores:

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# Método de Solución de EDOs Exactas

> __Método:__ Sea la EDO `$$M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$$` exacta. 
 1. Tomar `$M(x,y)dx$` e integrar la función `$$u(x,y)=\int M(x,y)dx + g(y)$$` con respecto a `$x$`. 
 2. Derivar la función `$u(x,y)$` con respecto a `$y$` y comparar con `$N(x,y)$` de la siguiente manera `$$N(x,y)=\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\int M(x,y)dx + g'(y).$$`
 3. Despejar `$g'(y)$` y encontrar `$g(y)$` integrando `$g'(y)$` con respecto a `$y$`.

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##### Ejemplo 1

Resolver la EDO `$$(2xy^2)dx + (2x^2y)dy = 0$$`

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__Solución:__ 
 `$u(x,y)=\int 2xy^2dx +g(y)=x^2y^2+g(y)$` 
 `$\frac{\partial u}{\partial y}=2x^2y+g'(y)=2x^2y$` 
 `$g'(y)=2x^2y-2x^2y=0$` Por lo que `$g(y)=c$`

Por lo que la solución es: `$x^2y^2+c=0$`

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##### Ejemplo 2

Resolver la EDO `$$2xydx+(x^2-1)dy=0$$`

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__Solución:__ 
`$u(x,y)=\int 2xydx +g(y)=x^2y+g(y)$` 
`$\frac{\partial u}{\partial y}=x^2+g'(y)=x^2-1$` 
`$g'(y)=-1$` Por lo que `$g(y)=-y$` 
 
Por lo que la solución es: `$x^2y-y=c$`

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##### Ejemplo 3

Resolver la EDO `$$(\sin y -y\sin x)dx + (\cos x -x\cos y -y)dy = 0$$`