Ecuaciones Líneales de orden superior

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# Ecuaciones Líneales de orden superior
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## Sesión 06
]
.author[
### Alejandro Ucan
]
.date[
### 2023-08-20
]

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# Objetivos de la Sesión

* Conocer la forma genérica de una EDO lineal de orden superior. <br/><br/>
* Conocer la forma genérica de un problema de valor inicial con una EDO lineal de orden superior. <br/><br/>
* Aprender la solución para EDO's lineales de orden superior. <br/><br/>
* Aplicar el método para resolver EDO's lineales de orden superior con coeficientes constantes.

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# EDO lineal de orden superior.

> __Definción:__ La forma genérica de una EDO lineal de orden superior es: `$$a_n(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_2(x)y''+a_1(x)y'+a_0(x)y+g(x)=0.$$`

Esta se convierte en un problema de valores iniciales cuando le agregamos las condiciones: `$$y(x_0)=y_0,\, y'(x_0)=y_1,\,y''(x_0)=y_2,\cdots,\,y^{(n-1)}(x_0)=y_{n-1}.$$`

__Nota:__ necesitamos tantas condiciones como el orden de la EDO.

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# Ejemplo:

> Supongamos que tenemos la EDO `$3y'''+5y''-y'+7y=0.$`

La función `$y=0$` es una solución a la ED0.

> Supongamos que tenemos la EDO `$y''-4y=12x$` con condiciones iniciales `$y(0)=4$` y `$y'(0)=1.$`

La función `$y=3e^{2x}+e^{-2x}-3x$` es una solución de este problema de valores iniciales.

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# EDO's lineales de orden superior con coeficientes constantes.

> Recordemos que para una EDO líneal homogenea `$$ay'+by=0$$` <br/><br/>
 * Posible solución es `$y=e^{mx},$` <br/><br/>
 * Sustituyendo en la EDO `$$ame^{mx}+be^{mx}=0=e^{mx}(am+b),$$` 
 *cómo `$e^{mx}\neq 0$` entonces `$$am+b=0\Rightarrow m=-b/a.$$`

Este prodecimiento lo podemos generalizar.

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# Ejemplo:

> Supongamos que tenemos la EDO `$$ay''+by'+cy=0.$$` <br/>
* Nuestro __polinomio auxiliar__ es: `$$am^2+bm+c=0.$$` <br/>
* Aplicando la fórmula general tendremos que las raíces son `$$m_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$` <br/>
* Esto implica que: 
    * Las soluciones son reales diferentes `$\Delta=b^2-4ac>0.$` 
    * Las soluciones son reales iguales `$\Delta=0.$`
    * Las soluciones son complejas conjugadas `$\Delta<0.$`
    
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## Caso 1: Soluciones diferentes:

> Cuando las raíces son reales y distintas, es decir, dos números `$m_1$` y `$m_2,$` entonces la solución general de la EDO es `$$y=c_1 e^{m_1 x}+c_2e^{m_2 x}.$$`

__Ejemplo:__ Encuentra las soluciones de `$2y''-5y'-3y=0,$` <br/><br/>

* Mi polinomio auxiliar es: `$2m^2-5m-3=0$` <br/>
* Sus raíces son `$m_1=-1/2$` y `$m_2=3$` <br/>
* La solución general `$$y=c_1e^{-x/2}+c_2e^{3x}.$$`

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## Caso 2: Soluciones iguales

> Cuando las raíces son reales pero iguales, es decir, `$m_1=m_2=m,$` entonces la solución general de la EDO es `$$y=c_1e^{mx}+c_2xe^{mx}.$$`

__Ejemplo:__ Encuentra las soluciones de `$y''-10y'+25y=0.$`

* Mi polinomio auxiliar es: `$m^2-10m+25=0$` <br/>
* Su raíz es `$m_1=m_2=5.$` <br/>
* La solución general `$$y=c_1e^{5x}+c_2xe^{5x}.$$`

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## Caso 3: Soluciones Complejas conjugadas

> Cuando las raíces son complejas conjugadas, es decir, `$m_1=a+bi$` y `$m_2=a-bi,$` entonces la solución general de la EDO es `$$y=c_1e^{ax}\cos(bx)+c_2e^{ax}\sin(bx).$$`

__Ejemplo:__ Encuentra las soluciones de `$y''+4y'+7y=0.$`

* Mi polinomio auxiliar es `$m^2+4m+7=0$` <br/>
* Sus raíces son `$m_1=-2+\sqrt{3}i$` y `$m_2=-2-\sqrt{3}i.$` Por lo que `$a=-2$` y `$b=\sqrt{3}.$` <br/>

* La solución general es `$$y=c_1e^{-2x}\cos(\sqrt{3}x)+c_2e^{-2x}\sin(\sqrt{3}x).$$`

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### Un problema de valores iniciales.

> Encuentren la solución a la EDO `$4y''+4y'+17y=0$` dados que `$y(0)=-1$` y `$y'(0)=2.$`

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# Modelando con EDOs lineales de orden superior:

> Suongamos que tenemos un resorte suspendido verticalmente de un soporte rígido y que sostiene un peso de masa `$m$` en su punta libre. La cantidad de "estiramiento" depende de la masa que le pongamos. <br/><br/>
* _Ley de Hooke:_ la fuerza de restablecimiento que ejerce el resorte es opuesta a la dirección de estiramiento y proporcional a esta cantidad, es decir: `$$F=-ks.$$` <br/>
* _Segunda Ley de Newton_ `$$m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx.$$`

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## Solución general del modelo
 
 > Queremos encontrar la solución general de `$$m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx.$$` Notemos que esta ecuación es equivalente a `$$x''+\frac{k}{m}x=0.$$`
> Mi polinomio auxiliar es `$$m^2+\frac{k}{m}=0$$` cuyas soluciones son `$m_1=\sqrt{\frac{k}{m}}i$` y `$m_2=-\sqrt{\frac{k}{m}}i.$` Por lo que mi solución general de la EDO es: `$$x(t)=c_1\cos\left(\frac{k}{m}t\right)+c_2\sin\left(\frac{k}{m}t\right).$$`

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### Algunas componentes de la solución:

* Al número `$w=\sqrt{\frac{k}{m}}$` se le conoce como _frecuencia circular._

* El período de la función solución es `$$T=\frac{2\pi}{w}.$$`

* La frecuencia de la función es `$$f=1/T.$$`

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### Ejemplo:

> Una masa de peso `$2lbs$` estira un resorte de `$6$` pulgadas. Si en `$t=0$` la masa es liberada desde un punto `$8$` pulgadas por debajo del equilibrio con una velocidad de `$4/3$` pies/s. Determine la ecuación de movimiento.

Realizando las conversiones adecuadas (pulgas en pies, y libras en unidades de masa), obtenemos que la ecuación diferencial es: `$$\frac{1}{16}x''+4x=0.$$` Con las condicions inciales de `$x(0)=2/3$` y `$x'(0)=-4/3.$` Por lo tanto `$w^2=64$` y `$w=8,$` así que la función de movimiento es: `$$x(t)=c_1\cos(8t)+c_2\sin(8t).$$`

Sustituyendo las condiciones iniciales obtenemos que `$c_1=2/3$` y `$c_2=-1/6.$`