Modelación con EDOs de Segundo Orden cc.

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# Modelación con EDOs de Segundo Orden cc.
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## Sesión 08
]
.author[
### Alejandro Ucan
]
.date[
### 2023-08-27
]

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# Objetivos de la Sesión

* Modelar con EDOs de segundo orden con coeficientes constantes. <br/><br/>
* Entender el moviento de un brazo robótico. <br/><br/>
* Entender el sistema masa resorte. <br/><br/>

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# Movimiento de un brazo robótico

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## Hipótesis

Sea `$\theta(t)$` el ángulo que me indica la posición del brazo robótico, `$\alpha$` es el coeficiente de restauración que regresa el brazo a su estado neutral, `$\beta$` es el coeficiente de fricción que se opone al movimiento del brazo e `$I$` es la momento de inercia. <br/><br/> `$$\alpha \theta(t)+\beta \theta'(t)+I \theta''(t)=0$$`

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# Modelando con EDOs lineales de orden superior:

> Supongamos que tenemos un resorte suspendido verticalmente de un soporte rígido y que sostiene un peso de masa `$m$` en su punta libre. La cantidad de "estiramiento" depende de la masa que le pongamos. <br/><br/>
* _Ley de Hooke:_ la fuerza de restablecimiento que ejerce el resorte es opuesta a la dirección de estiramiento y proporcional a esta cantidad, es decir: `$$F=-ks.$$` <br/>
* _Segunda Ley de Newton_ `$$m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx.$$`

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## Solución general del modelo
 
 > Queremos encontrar la solución general de `$$m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx.$$` Notemos que esta ecuación es equivalente a `$$x''+\frac{k}{m}x=0.$$`
> Mi polinomio auxiliar es `$$m^2+\frac{k}{m}=0$$` cuyas soluciones son `$m_1=\sqrt{\frac{k}{m}}i$` y `$m_2=-\sqrt{\frac{k}{m}}i.$` Por lo que mi solución general de la EDO es: `$$x(t)=c_1\cos\left(\frac{k}{m}t\right)+c_2\sin\left(\frac{k}{m}t\right).$$`

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### Algunas componentes de la solución:

* Al número `$w=\sqrt{\frac{k}{m}}$` se le conoce como _frecuencia circular._

* El período de la función solución es `$$T=\frac{2\pi}{w}.$$`

* La frecuencia de la función es `$$f=1/T.$$`

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### Ejemplo:

> Una masa de peso `$2lbs$` estira un resorte de `$6$` pulgadas. Si en `$t=0$` la masa es liberada desde un punto `$8$` pulgadas por debajo del equilibrio con una velocidad de `$4/3$` pies/s. Determine la ecuación de movimiento. <br/><br/>

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Realizando las conversiones adecuadas (pulgas en pies, y libras en unidades de masa), obtenemos que la ecuación diferencial es: `$$\frac{1}{16}x''+4x=0.$$` Con las condicions inciales de `$x(0)=2/3$` y `$x'(0)=-4/3.$` Por lo tanto `$w^2=64$` y `$w=8,$` así que la función de movimiento es: `$$x(t)=c_1\cos(8t)+c_2\sin(8t).$$`

Sustituyendo las condiciones iniciales obtenemos que `$c_1=2/3$` y `$c_2=-1/6.$`

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# Movimiento libre amortiguado

> Supongamos que tenemos un resorte suspendido verticalmente de un soporte rígido y que sostiene un peso de masa `$m$` en su punta libre. Supongamos que nuestro peso se encuentra en un medio que presenta una __resistencia__ (por ejemplo un medio viscoso o un amortiguador). <br/><br/>
* __Mecánica:__ esta acción de amortiguador se ve directamente proporcional a la velocidad instantánea del resorte ( `$\frac{dx}{dt}$` ). <br/><br/>
* No hay otra fuerza que este actuando en nuestro sistema.<br/><br/> 
$$ m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx-b\frac{dx}{dt}.$$

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## Resolvamos la EDO anterior

> Reescribiendo todo en una forma genérica obtenemos `$$\frac{d^2x}{dt^2}+2\lambda \frac{dx}{dt}+\omega^2=0$$` donde `$2\lambda=\frac{b}{m}$` y `$\omega^2=\frac{k}{m}.$`

<br/><br/>
Notemos que esta es una EDO líneal de orden dos homogénea, por lo que para resolverla necesitamos el polinomio auxiliar: `$$m^2+2\lambda m +\omega^2=0.$$`

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## Nuestra solución depende de las raíces

> Las raíces del polinomio auxiliar son: `$$m_1=-\lambda + \sqrt{\lambda^2-\omega^2}\quad\mbox{y}\quad m_2=-\lambda-\sqrt{\lambda^2-\omega^2}.$$` <br/><br/>

### Casos:

__Caso 1:__ `$\lambda^2-\omega^2>0,$` nuestro sistema está _sobre amortiguado_ y su solución es: `$$x(t)=e^{-\lambda t}\left(c_1 e^{\sqrt{\lambda^2-\omega^2} t}+c_2 e^{-\sqrt{\lambda^2-\omega^2} t}\right)$$`

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### Casos:

__Caso 2:__ `$\lambda^2-\omega^2<0,$` nuestro sistema está _subamortiguado_ y su solución es: `$$x(t)=e^{-\lambda t}\left(c_1 \cos\left(\sqrt{\lambda^2-\omega^2}t\right)+c_2 \sin\left(\sqrt{\lambda^2-\omega^2}t\right)\right)$$`
<br/><br/>
__Caso 3:__ `$\lambda^2-\omega^2=0,$` nuestro sistema está _criticamente amortiguado_ y su solución es: `$$x(t)=e^{-\lambda t}\left(c_1+c_2 t\right)$$`
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# Ejemplos:

### Movimiento sobre amortiguado:

> Encuentre la solución al PVI dado por `$$x''+5x'+4x=0$$` con `$x(0)=1$` y `$x'(0)=1.$`

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### Movimiento criticamente amortiguado:

> Un peso con peso de `$8lbs$` estira un resorte `$2ft.$` Asumientdo que la fuerza de amortiguado es igual a `$2$` veces la velocidad instantánea. Detemrine la función que describe el movimiento del peso si inicialmente se liberó desde el equilibrio con una velidad (negativa) de `$3ft/s.$`

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### Movimiento subamortiguado:

> Una peso con peso de `$16lbs$` está atado a un resorte de `$5ft$` de longitud. En el equilibrio el resorte mide `$8.2ft.$` Si el peso es inicialmente el peso es liberado `$2ft$` por encima de la posición de equilibrio. Encuentre la función de desplazamiento si el medio opone una resistencia igual a la velocidad instantánea.

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# Actividad:

1. Una masa con peso (fuerza) 16lbs estira un resorte `$8/3$`fts. Si la masa es liberada de una posición de 2ft por debajo de la posición de equilibrio. Este movimiento se encuentra en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento de `$1/2$` la velocidad de desplazamiento. Encuentre la ecuación de movimiento si el peso es impulsado por una fuerza externa igual a `$f(t)=10\cos(3t).$`

1. Un peso de 2kg esta en el extremo de un resorte con constante `$32 N/m.$` Si empiexa en `$t=0,$` una fuerza externa igual a `$f(t)=68e^{-2t}\cos(4t)$` se aplica al sistema. Encuentre la función que modela el desplazamiento.