Espacios Vectoriales

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# Espacios Vectoriales
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## Sesión 01
]
.author[
### Alejandro Ucan
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.date[
### 2023-08-05
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# Objetivos de la Sesión

* Definir la estructura de espacio vectorial. 
* Introducir ejemplos de espacios vectoriales. 
* Definir los subespacios vectoriales.

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# ¿Qué es un espacio vectorial?

> __Definición:__ Un espacio vectorial es una estructura algebraica que consiste de un conjunto `$V$` de objetos llamados vectores, y dos operaciones, suma y multiplicación por un escalar, que satisfacen ciertas propiedades. 
Las propiedades son:
 * La suma es conmutativa. 
 * La suma es asociativa. 
 * Existe un vector cero. 
 * Existe un inverso aditivo. 
 * La multiplicación por un escalar es asociativa. 
 * La multiplicación por un escalar distribuye sobre la suma de vectores. 
 * La multiplicación por un escalar distribuye sobre la suma de escalares. 
 * El escalar 1 es el elemento neutro de la multiplicación.

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## Ejemplos de Espacios Vectoriales.

> Consideremos el espacio de números reales `$\mathbb{R}$` como conjunto de vectores y escalares, con las operaciones usuales. Veamos que cumple con las propiedades de un espacio vectorial.

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> Consideremos el espacio el espacio `$V=\mathbb{R}^2$` de pares de reales, con la siguientes operaciones: 
* Suma: `$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).$` 
* Multiplicación por un escalar: `$\lambda(a,b)=(\lambda a,\lambda b).$` 
Probemos que es un espacio vectorial.

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## Ejemplos de Espacios Vectoriales

> Consideremos el espacio `$V=\mathbb{R}^n$` de n-tuplas de reales, con las siguientes operaciones: 
* Suma: `$(a_1,a_2,\dots,a_n)+(b_1,b_2,\dots,b_n)=(a_1+b_1,a_2+b_2,\dots,a_n+b_n).$` 
* Multiplicación por un escalar: `$\lambda(a_1,a_2,\dots,a_n)=(\lambda a_1,\lambda a_2,\dots,\lambda a_n).$` 
Probemos que es un espacio vectorial.

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## No Ejemplos de Espacios Vectoriales.

> Consideremos el espacio de polinomios de grado dos en la variable `$x,$` con coeficientes reales. Probemos que este no es un espacio vectorial.

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## No Ejemplos de Espacios Vectoriales.

> Consideremos el conjunto `$W=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x^2+y^2=1\}.$` Probemos que no es un espacio vectorial con la suma y producto por escalar de vectores en `$\mathbb{R}^2.$`

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# Geometría de los espacios vectoriales.

> La suma de vectores en `$\mathbb{R}^2$` se puede interpretar como el vector que resulta de colocar el origen de un vector en el extremo del otro vector. Esto también funciona para `$\mathbb{R}^3.$` 
La multiplicación por un escalar se puede interpretar como el vector que resulta de escalar el vector original.

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## Subespacios Vectoriales.

> __Definición:__ Un subespacio vectorial de un espacio vectorial `$V$` es un subconjunto `$W$` de `$V$` que es un espacio vectorial con las operaciones de `$V.$`

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> Por ejemplo, en el espacio vectorial de `$\mathbb{R}^2,$` la recta que pasa por el origen es un subespacio vectorial. Consideremos la recta `$W=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:y=mx\}$` donde `$m$` es una constante. Veamos que `$W$` es un subespacio vectorial.

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## Subespacios Vectoriales.
> Por ejemplo, en el espacio vectorial `$\mathbb{R}^3,$` las rectas que pasan por el origen son subespacios vectoriales. Consideremos la recta `$W_1=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:ax=z\}$` donde `$a$` es constantes. Veamos que `$W_1$` es un subespacio vectorial.
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## Subespacios Vectoriales
> Por ejmplo, en el espacio vectorial de `$\mathbb{R}^3,$` el plano que pasa por el origen es un subespacio vectorial. Consideremos el plano `$W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:ax+by=z\}$` donde `$a,b$` son constantes. Veamos que `$W$` es un subespacio vectorial.

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## Actividad

1. Consideremos `$V=\mathbb{R}^2$` con las operaciones usuales. ¿Puede ser `$W=\{(3,x):x\in\mathbb{R}\}$` un subespacio vectorial? 
1. Prueba que `$\mathbb{Z}^2$` es un espacio vectorial con la suma y producto por escalar de $\mathbb{R}^2 $ pero con conjunto de escalares igual a `$\mathbb{Z}.$` 
1. Si `$v=(2,2),\, w=(-1,2).$` Realice un representación gráfica para los vectores `$2v, v+w, v-w.$` 
1. Sea `$F$` el conjunto de polinomios con coeficientes en $\mathbb{R}. Prueba que `$F$` es un espacio vectorial con las operaciones usuales de suma de polinomios y producto por escalar con escalares el conjunto `$\mathbb{R}.$`